贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷理科数学

命题学校：清华中学 审卷学校：贵阳六中

联考学校：贵阳六中 清华中学 遵义四中 凯里一中 都匀一中 都匀二中 安顺一中

本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。

2．选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

第I卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

已知集合
则
的真子集个数为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

已知双曲线
的虚轴长是实轴长的两倍，则实数的值是（ ）

A．4 B．

C．
D．-4

如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

已知函数
的图像如右图所示，则
的解析式可以是（ ）

A．

B．

C．

D．

在
中，
是边
上的一点，且
则
的值为（ ）

A．0 B． -4 C．8 D．4

以下四个命题中，真命题的个数是（ ）

①“若
则
中至少有一个不小于1”的逆命题。

②存在正实数
，使得

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”。

④在
中，
是
的充分不必要条件。

A．0 B．1 C．2 D．3

设实数
均为区间
内的随机数，则关于x的不等式
有实数解的概率为（ ）

A．
B．

C．
D．

已知角
的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线
上，则
的值为（ ）

A．
B．

C．
D．

执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．-1 B．1

C．-2 D．2

一个平行四边形的三个顶点的坐标为
，点
在这个平行四边形的内部或边上，则
的最大值是（ ）

A．16 B．18

C．20 D．36

已知圆C的方程
，P是椭圆
上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

已知扇形AOB（
为圆心角）的面积为
，半径为2，则
的面积为 ，

在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩
，统计结果显示
，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有　 　人.

的展开式中不含的项的系数和为 . (结果化成最简形式).

已知函数
若函数
有3个零点，则实数k的取值范围是 .

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（本小题满分12分）

已知
是等差数列，
是等比数列，
为数列
的前n项和，
且

求
和

若
，求数列
的前n项和

（本小题满分12分）

如图，几何体
中，
为边长为的正方形，
为直角梯形，
，
，
，
，
．

（1）求证:

（2）求二面角
的大小．

（本小题满分12分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵.早高峰时段（T≥3），从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：

（1）据此直方图估算交通指数T∈[4，8）时的中位数和平均数

（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？

（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

（本小题满分12分）

函数
，其中是自然对数的底数，
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，求整数t的所有值，使方程
在
上有解；

（3）若
在
上是单调增函数，求的取值范围．

（本小题满分12分）

已知中心在原点
，左焦点为
的椭圆C的左顶点为，上顶点为，
到直线
的距离为
.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若椭圆
方程为：
（
），椭圆
方程为：
（
，且
），则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆.已知
是椭圆C的
倍相似椭圆，若直线
与两椭圆
、C交于四点(依次为、
、、
)，且
，试研究动点
的轨迹方程.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图5，⊙O1和⊙O2 公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点。

（1）求证：
～
；

（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求
的值。

（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知在一个极坐标系中点C的极坐标为
。

（1）求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形

（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点, 极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点，
，
是线段
的中点，当点P在圆C上运动时，求点
的轨迹的普通方程。

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数a的取值范围.

贵州省七校联盟2015届高三第一次联考试卷

（理科数学）参考答案及评分细则

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

B

A

D

C

C

D

A

C

C



二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13、
14、 78 15、 -1024 17、

三、解答题：（ 共70分。）

17、解：（1）由题意


3分

所以


6分

（2）若
，由（1）知
，

8分

10分

12分

18、（1）证明：由题意得，
，
，且
，

∴
平面
， ∴
， ………………2分

∵四边形
为正方形. ∴

由
∴
∴
………………4分

又∵四边形
为直角梯形，
，
，
，

∴
，
则有
∴

由
∴
∴
……6分

（2）解法一：由（1）知
所在直线相互垂直，故以为原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………7分

可得
，

由（1）知平面FCB的法向量为

∴
， ………………8分

设平面EFB的法向量为
.

则有:

令z=1则
………………10分

设二面角
的大小为

∵ ………………12分

解法二：（传统几何法）略

19、解:（1）由直方图知：
时交通指数的中位数为5+1
=

2分

时交通指数的平均数为
…...4分

（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则


5分

则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：

7分

所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为


8分

（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：

x

30

35

45

60



P

0.1

0.44

0.36

0.1



则


11分

所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟

12分

20、解：(1)因为
，所以不等式
即为
，

2分

又因为
，所以不等式可化为
，

3分

所以不等式
的解集为
．

4分

(2)当
时, 方程即为
，由于
，所以
不是方程的解，

所以原方程等价于
，

5分

令
，因为
对于
恒成立，

所以
在
和
内是单调增函数，

6分

又
，
，
，
，所以方程
有且只有两个实数根，且分别在区间
和