衡阳市2015届部分学校高三复习联合调研试题

理科数学 （2015.1.22.）

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在相应的表格中，共10个小题，每小题5分，共50分)

1.已知集合
，
，则集合B中所有元素之和为 （ ）

A. 2 B. -2 C. 0 D.

2．在
中，若
，三角形的面积
，则三角形外接圆的半径为（ ）

A．
B．2 C．
D．4

3．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）

A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2

4．已知函数
，
R
，若
，则
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．-1

5．已知
，且
的终边上有一点
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．设
R，则“
”是“
”成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．在锐角三角形
中，
分别为内角
的对边，若
，给出下列命题：①
；②
；③
．其中正确的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．设方程
和方程
的根分别为
和
，设函数

，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9．如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，让△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．某同学在研究函数
＝
＋
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
＝
＋
，则
表示
（如左图），则 ①
的图像是中心对称图形；②
的图像是轴对称图形；③函数
的值域为
；④函数
在区间
上单调递减；⑤方程
有两个解．上述关于函数
的描述正确的个数为（ ）

A．1 B．.2 C．3 D．4

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

（一）选考题（请考生在第11、12、13、三题中任选两题作答.如果全选，则按第11、12、两题作答结果计分）

11. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
的参数方程为
（
为参数），圆
的极坐标方程为
.若圆
关于直线
对称，则
的值为

12. （选修4-1：几何证明选讲）如右图，
为圆的内接三角形，
为圆的弦，且
∥
．过点
做圆的切线与
的延长线交于点
，
与
交于点
．若
，则线段
的长为

13. （不等式选讲选做题）已知
，且
，则
的最小值为 .

（二）必考题（14
16题）

14．曲线y＝2sin x(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．

15．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为

16. 若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
．则称
是集合
上的一个拓扑．已知集合
，对于下面给出的四个集合
：

①
；②
；③
；

④
．

其中是集合
上的拓扑的集合
的序号是 。

三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知向量
，向量
，函数
.

(1)求
的最小正周期
；

(2)已知
，
，
分别为
内角
，
，
的对边，
为锐角，
，
，

且
恰是
在
上的最大值，求
，
和
的面积
.

18．（本小题满分12分）

2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5





169

178

166

175

180





75

80

77

70

81



（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素
满足
，且
,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱
中，侧面
⊥底面
，
，底面
为直角梯形，其中
，
，
为
中点. （1）求证：
平面
；（2）求锐二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知数列
满足：
，数列
满足：
，
，数列
的前
项和为
.

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）求证：数列
为递增数列；

（3）若当且仅当
时，
取得最小值，求
的取值范围．

21．（本小题满分13分）已知直角坐标系xOy中，点F在x轴正半轴上，点G在第一象限，设
，
的面积为
，且
.

（1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标；

（2）在（1）的条件下，当
取最小值时，求椭圆E的标准方程；

（3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为
，且
，试求CD直线方程．

[]

22．（本小题满分13分）已知函数
．

（1）若
在区间
上不是单调函数，求实数
的范围；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，设
，对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
、
，使得
是以
（
为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由．

衡阳市2015届部分学校高三复习联合调研试题

理科数学试卷参考答案 2015.1.22.

一、选择题：1-5.BBBAD 6-10. DCAAB

二．（一）选考题11.2 12..
13.解：∵
，∴
，又∵
，∴
，当且仅当
时取等号．∴
的最小值为6．

（二）必考题（14
16题）14.
15 9 16. ②④ 。

17. 解: (1)

………………3分

因为
，所以
……………………5分

(2) 由(1)知：
当
时,

由正弦函数图象可知,当
时
取得最大值
。 …………8分

所以
,
…………………9分

由余弦定理，
∴
∴
………10分

从而
……………………12分

18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为
；…………………2分

（2）样品中优等品的频率为
，乙厂生产的优等品的数量为
；…………4分[]

（3）
， ……………………5分

，…………8分

的分布列为

0

1

2













 ………………11分

均值
…………………12分

19．(1)证明：如图，连接
，则四边形
为正方形，所以
，且
，………2分

故四边形
为平行四边形，所以
．

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………5分

(2)因为
为
的中点，所以
，又侧面
⊥底面
，交线为
，故
⊥底面
。 …………6分

以
为原点，所
在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的坐标系， 则

，

，

设
为平面
的一个法向量，由
，得
，

令
，则
．

又设
为平面
的一个法向量，由
，得
，令
，

则
， …………9分

则
，

故所求锐二面角
的余弦值为
． …………12分

20．解：（Ⅰ）
．

是等差数列．

又

………………2分

．

又

为首项，以
为公比的等比数列．……………
…5分

（Ⅱ）
．

．

当
．

又
，
．

是单调递增数列
． ………………8分

（Ⅲ）
时，
．

，
即
，

．………………12分

21. 解（1）设
(
)
，