唐山市2014－2015学年度高三年级期末考试

数学（理）试题

说明：

一、本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题；第II卷为非选择题，分为必考和选考两部 分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用 橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

(1)函数
的定义域为

(A)[0，3] (B)[1，3] (C)[1，+∞) (D)[3，+∞)

(2)某品牌空调在元旦期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是

(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16

(3)"k<9’’是“方程
表示双曲线”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)设变量x、y满足
则目标函数z=2x+3y的最小值为

(A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23

(5)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若
,则

(A)2 (B)
(C)
(D)l或2

(6)己知
的值域为R，那么a的取值范围是

(A)(一∞，一1] (B)(一l，
) (C)[－1，
) (D)（0，
）

(7)执行如图所示的算法，则输出的结果是

(A)1 (B)
(C)
(D)2

(8)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于

(A)
(B)
(C)1 (D)

(9)己知函数
,且
在区间
，上递减，则
＝

(A)3 (B)2 (C)6 (D)5

(10)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有

(A) 24种 (B) 36种 (C) 48种 (D) 60种

(11)椭圆
的左焦点为F，若F关于直线
的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为

(A)
(B)
(C)
， (D)
一l

2

(12)设函数
，若对于任意x
[一1，1]都有
≥0，则实数a的取值范围为

(A)(-
, 2] (B)[0+
) (C)[0,2] (D)[1,2]

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

(13)若复数z满足z=i(2+z)（i为虚数单位），则z= 。

(14)过点A(3,1)的直线
与圆C:
相切于点B，则
．

(15)在三棱锥P-ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为 ．

(16)数列{an}的前n项和为Sn，2Sn –nan=n（n∈N*），若S20= -360，则a2=____．

三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3.

(I)求b；

( II)若△ABC的面积为
，求c．

(18)（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，

PA =AB=AC．

(I)求证：AC⊥CD;

( II)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面甬B-AE -D的余弦值．

(19)（本小题满分12分）

某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交

警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，

9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

(I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

( II)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求
的分布列及数学期望.

(20)（本小题满分12分）

已知抛物线y2= 2px(p>0)，过点C（一2，0）的直线
交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，
．

(I)求抛物线的方程；

( II)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线
的方程．

(21)（本小题满分12分）

己知函数
，直线
与曲线
切于点
且与

曲线y=g（x）切于点(1，g(1))．

(I)求a，b的值和直线
的方程．

( II)证明：

请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时

用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

(22)（本小题满分1 0分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形么BDC内接于圆，BD= CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．

(I)求证：∠EAC＝2∠DCE；

( II)若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长．

(23)(本小题满分10)选修4—4；坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为
，斜率为
的直线
交y轴于点E(0,1).

(I)求C的直角坐标方程，
的参数方程；

( II)直线
与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB |。

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
的最小值为a．

(I)求a；

( II)已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求
的最小值．

参考答案

选择题：

A卷：BCAAB CAABD DC

B卷：ACADB AACBD CD

二、填空题：

（13）－1＋i （14）5 （15）8 （16）－1

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）由正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，

又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°．

因为bcosC＝3，所以b＝3． …6分

（Ⅱ）因为S＝acsinB＝，csinB＝3，所以a＝7．

据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5． …12分

（18）解：

（Ⅰ）证明：

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因为∠PCD＝90(，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC． …4分

（Ⅱ）

因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．

如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以||为单位长度，建立空间直角坐标系．

则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．

设＝λ＝λ(0，1，－1)，则＝＋＝ (0，λ，1－λ)，

又∠DAE＝60°，则cos(，(＝，

即＝，解得λ＝． …8分

则＝(0，，)，＝－＝(－1，，－)，

所以cos(，(＝＝－．

因为·＝0，所以⊥．又⊥，

故二面角B-AE-D的余弦值为－． …12分

（19）解：

（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．

则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝．

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则

M＝BCD＋ACD＋ABD＋ABC．

则P(M)＝×××＋×××＋×××＋×××

＝＝． …5分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝．

ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4



p













E(()＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（(）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4．

因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，

得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）（(）化为y2－4my＋8＝0．

y1＋y2＝4m，y1y2＝8． …6分

设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①

又|AB|＝| y1－y2|＝， ②

由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，

解得m2＝3，m＝±．

所以，直线l的方程为x＋y+2＝0，或x－y+2＝0． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝aex＋2x，g((x)＝cos＋b，

f(0)＝a，f((0)＝a，g(1)＝1＋b，g((1)＝b，

曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，

曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为

y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1．

依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x． …5分

设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，则F((x)＝ex＋2x－1，

当x∈(－∞，0)时，F((x)＜F((0)＝0；

当x∈(0，＋∞)时，F((x)＞F((0)＝0．

F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，

故F(x)≥F(0)＝0． …8分

设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin，

则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1（k∈Z）时等号成立． …10分

由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，

因此f(x)＞g(x)． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．

所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．

因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD． …5分

（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．

因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．

由切割线定理得EC2＝AE?BE，即AB2＝AE?( AE－AB)，即

AB2＋2 AB－4＝0，解得AB＝－1． …10分

（23）解：

（Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，

即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2．

l的参数方程为（t为参数, t∈R） …5分

（Ⅱ）将代入(x－1) 2＋(y－1) 2＝2得t2－t－1＝0，

解得，t1＝，t2＝，则

|EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝． …10分

（24）解：

（Ⅰ）f(x)＝

当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，

当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，

所以当x＝0时，f(x)的最小值a＝1． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤，

则＋≥2≥2，当且仅当m＝n＝时取等号．

所以＋的最小值为2． …10分

注：如有其他答案，请参考评分标准给分．

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