江西省重点中学协作体2015届第一次联考

数学试卷（理科）

命题人：南昌二中 邹亭亭 南昌二中 周启新 新余一中 蒋小林

第Ⅰ卷

一.选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
集合
则

A.
B.
C.
D.

2．若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为

A.
B.
C.
D.

3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为

A.
B.

C.
D.

4．下列命题中正确的是

A.命题
的否定

B.若
为真命题，则
也为真命题

C.“函数
为奇函数”是“
”的充分不必要条件

D.命题“若
则x=1”的否命题为真命题

5．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

6．已知数列{an}各项均为正数,且满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=3,则log3

(a5+a7+a9)的值是

A.2 B.3 C.4 D.5

7．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是

A.258 B.306 C.336 D.296

8．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

9．在平行四边形ABCD中,AD=2,∠BAD=60°,E为CD的中点,若
,则AB的长为

A.
B.4

C.5 D.6

10.点P在双曲线
上,
是这条双曲线的两个焦点,
,且
的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是

A.
 B.
 C.2 D.5

11.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是
,则满足条件的直线l共有( )条

A.1 B.2 C.3 D.4

12.对于函数
的定义域为D,如果存在区间
同时满足下列条件:①
在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时,
的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数
存在“H区间”,则正数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡上．

13.若点M(x,y)为平面区域
上的一个动点,则x+2y的最大值为 .

14.二项式
的展开式的第二项的系数为
,则
的值为 .

15.已知四面体ABCD满足AB=BC=AD=1,BD=AC=
,
,则该四面体外接球的表面积等于 .

16.已知
且对任意
都有:

①
;②

对于以下四个命题:

⑴数列
是等比数列;

⑵数列
是等差数列;

⑶
;

⑷
;

其中真命题的序号为: .

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

在
中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,向量
且

(1)求角A;

(2)若
,求
面积的最大值.

18.(本小题满分12分)

近年来,我国许多城市雾霾现象频发,PM2.5(即环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物)是衡量空气质量的一项指标。据相关规定,PM2.5日均浓度值不超过35微克/立方米空气质量为优,在35微克/立方米至75微克/立方米之间的空气质量为良,某市环保局随机抽取了一居民区今年上半年中30天的PM2.5日均浓度监测数据,数据统计如下:

组别

PM2.5日均浓度(微克/立方米)

频数(天)



第一组

(15,35]

3



第二组

(35,55]

6



第三组

(55,75]

12



第四组

(75,95]

6



(1)估计该样本的中位数和平均数;

(2)将频率视为概率,用样本估计总体,对于今年上半年中的某3天,记这3天中该居民区空气质量为优或良的天数为X,求X的分布列及数学期望EX.

19.(本小题满分12分)

如图,三角形ABC中,
,平面
平面
,
,
,
分别是
的中点,记平面
与平面
的交线为直线
.

(1)求证:直线l//BC;

(2)若直线l上一点Q满足BQ//AC,求平面PAC与平面EQB的夹角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

设F(
,0),点A在x轴上,点B在y轴上,且
,
.

当点B在y轴上运动时,求点M的轨迹E的方程;

设点F是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆
内切于
,求
的面积的最小值.

21.(本小题满分12分)

设函数

(1)若f(x)在R上单调递增,求a 的取值范围;

(2)记
求证:

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图,已知
切⊙
于点E,割线PBA交⊙
于A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE

分别交于点C、D,

求证:

;

.

23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

直线l的参数方程为
曲线C的极坐标方程

(1)写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程;

(2)设直线l与曲线C相交于两点A、B,若点P为(1,0),求

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知关于x的不等式
的整数解有且仅有一个值1.

(1)求整数m的值;

(2)已知
均为正数,若
求
的最小值.

江西省重点中学协作体2015届高三第一次联考数学试卷

（理科）参考答案

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

A

D

B

C

C

A

D

D

C

B





二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 5 14.
或
15．
16． （2）、（4）

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：（I）

……1分

……2分

……4分

……6分

（II）由余弦定理：
,

,所以
，所以
. ……9分

,当且仅当
等号成立.

面积的最大值为
. ……12分

18. 解：（1）中位数=55+20
=60……2分

平均数
……4分

（2）
上半年中某一天的空气质量为优或良的概率为

～
……6分

……10分

X

0

1

2

3



P












X的分布列为

X的数学期望EX=
=1.2 ……12分

19. 解：（1）证明：E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，

又EF
平面EFA，BC
平面EFA，

∴BC∥平面EFA

又BC
平面ABC，平面EFA
平面ABC=

∴
∥BC ……5分

(2)

∥BC，
，

∴四边形AQBC为矩形

∴AQ=BC=3 ……6分

取AC的中点M，连接PM

∴PM
AC

又
平面
⊥平面
，平面

平面
=
，PM
平面

∴
⊥平面

∴
、
、
两两垂直

以C为原点，分别以
、
、
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）

∴

∴
，

设平面
的法向量
，

则
，即

∴
，取
，则
，所以

又平面
的一个法向量
……10分

∴

所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
。 ……12分

20．

解：（1）设M（x，y），由
，得点B为线段AM的中点，

∴B（0，
），A（﹣x，0），

∴
=（﹣x，﹣
），
=（
，﹣
）．

由
=﹣
x+
=0，得y2=2x．

所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x； ……5分

（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，

∴PR直线的方程为
，整理得lPR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，

∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，

∴
，

注意到x0＞2，化简得：
，

同理可得：
，

因此，b、c是方程
的两个不相等的实数根，……8分

根据根与系数的关系，化简整理可得
，

由此可得△PRN的面积为
，

∴当x0﹣2=
时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8． ……12分



21. 解：（1）
在R上恒成立

在R上恒成立

在R上恒成立 ……2分

……4分

方法一：

设
，
，则

又

……6分

设
，则
，

令
，得
，则

令
，得
，则

在R上恒成立

设

……10分