2015年江西省 高三上学期期末联合考试

数学（理科）试卷

命题：樟树中学 李志红 审题：万浩春

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．
( )

A．
B．
C．
D．

3．为了研究高中学生对玩游戏的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算
，则认为“喜欢玩游戏与性别有关系”的把握性约为( )

0.100


0.050

0.025

0.0
10

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828



A.0.1% B．
1% C．99% D．99.9%

4．直线

的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是( )

A．
B．
C．
且
D．
且

5．下列命题中,正确命题的个数为( )

① “若
,则
或
”的逆否命题为“若
且
,则
”；

②若随机变量
服从正态分布
，且
，则
；

③函数
的导函数满足
，则函数
在
处有极值.

A．0 B．1 C．2 D. 3

6．二项式
的展开式
的第
二项的系
数为
，

则
的值为( )

A.
B.
C.3或
D. 3或

7．阅读程序框图,若
、
分别是双曲线
的

虚轴长和实半轴长，
则输出
分别是( )

A．
B．

C．
D．

8．已知数列
满足
，
，其中
是等差数列，且
，

则
( )

A．
B．
C．
D．

9．函数
(
均为常数),若
在
时取得极大值且
，在
时取得极小值且
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．

D．

10．已知数列
中满足
，
，则
的最小值为( )

A. 9 B. 7 C.
D.

11．一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为( )

A.
B.
C.
D.

12．已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小
题，每小题5分，共20分）

13．记直线
的倾斜角为
，曲线
在
处切线的倾斜角为
，

则
.

14．已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图和

侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为

直角梯形，则此几何体的体积
.

15．将函数
的图象向左平移1个单位，再将位

于
轴下方的图象沿
轴翻折得到函数
的图象，

若实数
满足

，则
.

16．某市今年发行宣传卡片2015张，每张卡片上印有一个
四位数字的号码，从0001到2015，如果卡片上的四位数字之和等于8，则称这张卡片为“幸运卡片”．那么该地发行的20
15张卡片中“幸运卡片”有 张.(用数字做答)

三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知

.

（1）若
，方程
有且仅有一解，求
的取值范围；

（2）设
的内角
的对应边分别是
，且
，若
，

求
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

有
四所学校组织高三教师经验交流，各校参加教师人数具体如下表：（单位：人）

学校











人数

60

45

30

15



为了进一步搞好高三复习，采用分层抽样的方法从上述四所学校参加经验交流的教师中随机抽取50名教师做经验介绍．

（1）从做经验介绍的50名教师中随机抽取两名，求这两名教师来自同一所学校的概率；

（2）在做经验介绍的50名教师中，从来自
、
两所学校的教师中随机抽取两名，用
表示抽得
校教师的人数，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，平面
⊥平面
，其中
为

矩形，
为梯形，
，
，

，
为线段
的中点．

（1）求直线
与直线
所成角的余弦值；

（2）若平面
与平面
所成角为
，

且
，求线段
的长．

20．（本小题满分12分）

已知
，
分别为椭圆
的上、下焦点，抛物线
的顶点在坐标原点，焦点为
，点
是
与
在第二象限的交点, 且
.

（1）求抛物线
及椭圆
的方程；

（2）与圆
相切的直线
交椭圆
于
两点,若椭圆
上存在点
满足
,求实数
的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数
．(
是自然对数的底数)（1）试讨论函数
的单调区间；（2）若不等式
对于任意的
恒成立，求
的取值范围．

请考生从第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分.

22．（本小题满分10分）

如图，在
中，
是
的角平分线，
的

外接圆交
于点
，
．

（1）求证：
；

（2）当
时，求
的长．

23．（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，直线
过点
，倾斜角为
．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
．

（1）写出直线
的参数方程及曲线
的普通方程；

（2）若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值．

24．（本小题满分10分）

已知关于
的不等式：
，2是其解集中唯一的整数解．

（1）求
的值；

（2）已知正实数
满足
，求
的最大值．

2015年江西省四校高三上学期期末联合考试

数学（理科）参考答案

选择题1-5 D B C B C 6-10 A A A A C 11-12 B B

二、填空题13.
14. 16 15.
16. 83

三、解答题

17.（1）依题意可得
................................3分

∵
，∴
，
...........6分

（2）由

得
................................8分

................10分

故
..................12分

18.（1）从四所学校中抽取做经验介绍的教师的人数分别为20,15,10,5.......2分

从做经验介绍的50名教师中随机抽取两名的取法共有
种，

这两名教师来自同一学校的取法共有
+
+
+
=350种.......5分

∴
................................ 6分

（2）由（1）知，在做经验介绍的50名教师中，来自
、
两校的人数分别为15,10．

的可能取值为
，................................ 7分

，
，
．

的分布列为：




















................................12分

19.（1）由已知得
为正三角形，所以
，

因为平面
⊥平面
，平面
∩平面

，

平面
，所以
，所以所成角的余弦值为
...............5分

（2）设
，以
为原点，
所在直线分别为
轴和

轴建立如图所示的空间直角坐标
系，

则
，
，
，
，

所以
，
．

平面
，所以平面
的法向量可取
．

设
为平面
的法向量，则

可取
.由
得
，所以

得
所以
..................12分

20.（1）抛物线
的方程为
................................2分

由题意得
,又由抛物线定义可知
,得
,

所以
,从而
,

由椭圆定义知
,得
,故
,

从而椭圆的方程为
................................5分

（2）设
,则由
知,

,且
, ①

又直线
与圆
相切,
所以有
,

由
,可得
②

又联立
消去
得

且
恒成立,且
,

所以
,所以得
.........8分

代入①式得
,所以

又将②式代入得,
, ..................10分

易知
,所以
,

所以
的取值范围为
..................12分

21.（1）
..................1分①当
时，函数定义域为
，
，故
在
上单调递增；

②当
时，函数定义域为