河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．

1．设集合
，
，则
（　　）

A．
　　B．
　　C．
　　D．

2． 已知是虚数单位，和都是实数，且
，则
（ ）

A．
　　　　B．　　　　C．
　　　　D．

3．设若

，则的值为

A．　　　B．　　　C．
　　　D．

4．设
为两个非零向量，则“
”是“
与
共线”的　　　　　　　　　　　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．右图中，
为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于

A． B．
　　C．
D．

6．已知
，且
，则

　A．
B．
C．
D．

7．已知
,
点
在
内，且
，设

，则
等于（ ）

A．
B．3 C．
D．

8．等差数列
的前项和为
，且
，
，则过点
和
(
)的直线的一个方向向量是(　　)

A．
B．
C．
D．

9．函数

的图象恒过定点，若点在直线
上，其中
，则
的最小值为( )

A．
B．4 C．
D．

10．在区间
和
上分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在轴上且离心率小于
的椭圆的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位
）

A．
B．

C．
　D．

12．若曲线

与曲线
存在公共切线，则的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．

13．
的展开式中
的系数为 ＊　＊ ．

14．若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则该双曲线的离心率为 ＊　＊ ．

15．设点
满足条件
，点
满足
恒成立，其中
是坐标原点，则
点的轨迹所围成图形的面积是 ＊　＊ ．

16．在
中，
若
，则
的最大值 ＊　＊ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．已知数列
的各项均为正数，前项和为
，且

（Ⅰ）求证数列
是等差数列；（Ⅱ）设
求
．

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生
名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于
分钟的人数记为
，求
的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．已知四棱锥
中，
平面
，底面
是边长为的菱形，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）设
与
交于点
，
为
中点，若二面角
的正切值为
，求
的值．

20．已知抛物线
，直线

与抛物线交于
两点．

（Ⅰ）若轴与以
为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线
与轴负半轴相交，求
面积的最大值．

21．已知函数

（Ⅰ）当
时，判断函数
的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若
有两个极值点
，证明：
．

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

已知

外接圆劣弧
上的点（不与点、
重合），延长
至,延长
交
的延长线于．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与轴的交点是
，
是曲线上一动点，求
的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
，对
，
恒成立，求的取值范围．

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）

理科数学(答案)

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：BDADC CBADB AC

二、填空题：

13． -200 ．14．
．15．
．16．
．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．已知数列
的各项均为正数，前项和为
，且

（Ⅰ）求证数列
是等差数列；

（Ⅱ）设
求

解：（Ⅰ）
①

②

①-②得：

整理得：

数列
的各项均为正数，

时，
数列
是首项为公差为的等差数列 6分

（Ⅱ）由第一问得

12分

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生
名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学所需时间少于
分钟的人数记为
，求
的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于
分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于
分钟的概率）

解：（Ⅰ）由直方图可得：

．

所以
． 3分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于小时的频率为：

，

因为
，

所以1200名新生中有
名学生可以申请住宿． 6分

（Ⅲ）
的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，

,
,

,
,

． 10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为． 12分

19．已知四棱锥
中，
，底面
是边长为的菱形，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
与
交于点
，
为
中点，若二面角
的正切值为
，求
的值．

19．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分

从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分

（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分

又
，且
………………10分

从而
………………11分

所以
，即
． ………………………12分

法二：如图,以为原点,
所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则
,
,
…………8分

从而

………………9分

因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为
．……10分

设平面PMD的法向量为
,由
得

取
，即
……………11分

设
与
的夹角为
，则二面角
大小与
相等

从而
，得

从而
，即
． ……………12分

20．已知抛物线
，直线

与抛物线交于
两点．

（Ⅰ）若轴与以
为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线
与轴负半轴相交，求
面积的最大值．

解：（Ⅰ）联立
，消并化简整理得
．

依题意应有
，解得
．

设
，则
，

设圆心
，则应有
．

因为以
为直径的圆与轴相切，得到圆半径为
，

又
．

所以
，

解得
．

所以
，所以圆心为
．

故所求圆的方程为
．

（Ⅱ）因为直线
与轴负半轴相交，所以
，

又
与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知
，所以
，

直线
：
整理得
，点到直线
的距离
，

所以
． 令
，
，

，











＋

0

－







极大





由上表可得
的最大值为
．所以当
时，
的面积取得最大值
．

21．已知函数

（Ⅰ）当
时，判断函数
的单调区间并给予证明；

（Ⅱ）若
有两个极值点
，证明：
．

解：（Ⅰ）
时，

易知
从而
为单调减函数．………………４分

（Ⅱ）
有两个极值点
，

即
有两个实根
，所以

，得
．

，得
．………………6分

又
，

所以
………………8分

，得

………………10分

，

………………12分

另解：
由两个实根，
，

当
时，
所以
单调递减且
，不能满足条件．

当
时，
所以
单调递减且

当
时，
所以
单调递增且
，

故当
时，
，当
时
，当
时②
，所以
由两个实根需要
．即

即
，
，从而可以构造函数解决不等式的证明．

有两个实根
，
不是根，所以
由两个实根，
，

当