新余市2015届高三上学期期末考试

数学（文）试题

命题人：郭永平 审题人：龚小铭 考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知
则

A．
B．
C．
D．

3、已知函数
且
则
（ ）

A. 0 B. 1 C. 4 D.

4．等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+ a7-a10=8，a11-a4=4，则S13等于

A．152 B．154 C．156 D．158

5．函数
的一个零点落在下列哪个区间（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

6、要得到函数
的图像，需要把函数
的图像（ ）

A. 向右平移
个单位，再向上平移1个单位

B. 向左平移
个单位，再向上平移1个单位

C. 向左平移
个单位，再向下平移1个单位

D. 向右平移
个单位，再向下平移1个单位

7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为（ ）

A．102 B．410 C．614 D．1638

8. 若直线
始终平分圆
：
的周长，则
的最小值为（ ）

A．
B．5 C．
D．10

9．从抛物线y2= 4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且
，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为

A．5 B．10 C．20 D．

10．已知函数
，若
，

且

，则
=（ ）

A．2 B．4 C.8 D．随
值变化

11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为

A.
B.
C.
D.

12．若存在正实数
，对于任意
，都有
，则称函数
在
上是有界函数．下列函数：

①
； ②
； ③
； ④

其中“在
上是有界函数”的序号为（ ）

A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13、某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，则抽取高级职称人数为

14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

15．已知直线
与圆
交于
、
两点，
是原点，C是圆上一点，若
，则
的值为_______ .

16.设n是正整数，由数列1，2，3，…，n分别求相邻两项的和，得到一个有n-1项的新数列：1+2,2+3,3+4，…，(n-1)+n即3，5，7，…，2n-1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项.

（1）记原数列为第一个数列，则第三个数列的第
项是______；

（2）最后一个数列的项是________________________.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．(本题满分12分)在
中，内角
的对边分别为
，且
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的面积．

18．(本题满分12分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195m之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[
,
)，第二组[
,
)，…，第八组[
,
]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为
人．

（1）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在
cm以上（含
cm）的人数；

（2）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
{
}，求
．

19. （本小题12分）如图1，在直角梯形
中，
，
，且
．现以
为一边向梯形外作正方形
，然后沿边
将正方形
翻折，使平面
与平面
垂直，
为
的中点，如图2．

（1）求证：
∥平面
;

（2）求点
到平面
的距离.

20（本题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点到直线
的距离为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知点
，斜率为
的直线
交椭圆
于两个不同点
,设直线
与
的斜率分别为
；

若直线
过椭圆的左顶点，求
的值； ② 试猜测
的关系，并给出你的证明.

21（本题满12分）

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的极值；

（Ⅱ）证明：存在
，使得
；

（Ⅲ）记函数
的图象为曲线
．设点
是曲线
上的不同两点．如果在曲线
上存在点
，使得：①
；②曲线
在点
处的切线平行于直线AB，则称函数
存在“中值伴随切线”，试问：函数
是否存在“中值伴随切线”？请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
为半圆
的直径,
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，过

点
作
于
，交半圆于点

(1)求证：
平分

(2)求
的长.

23．（本小题满分10分）已知曲线
（
为参数），曲线
，将
的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
得到曲线
.

（1）求曲线
的普通方程，曲线
的直角坐标方程；

（2）若点P为曲线
上的任意一点，Q为曲线
上的任意一点，求线段
的最小值，并求此时的P的坐标．

24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲

已知函数

（1）若a=1，解不等式
；

（2）若
，求实数
的取值范围。

毕业年级期末考试数学试卷（文） 答案

1. 【答案解析】C解析 ：解：
．故选：C．

2 . 【答案解析】C 解析：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），

由N中
，得到﹣
≤x≤
，即N=[﹣
，
]，

则M∩N=[0，
]．故选：C．

3.【答案解析】A解析 ：解：令
，通过观察可知
为奇函数，

f（m）=g（m）+1=2，∴g（m）=1，∴f（﹣m）=g（﹣m）+1=﹣g（m）+1=0，

故选：A．

4.【答案解析】C 解析：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

∴a3+a7﹣a10=a1+2d+a1+6d﹣a1﹣9d=a1﹣d=8①；a11﹣a4=a1+10d﹣a1﹣3d=7d=4②，

联立①②，解得a1=
，d=
；∴s13=13a1+
d=156．故选C．

5【答案】B【解析】

试题分析：∵
,∴f（1）?f（2）＜0．根据函数的实根存在定理得到函数
的一个零点落在（1，2）上故选B．

6【答案解析】B解析 ：解：∵函数
=cos2x+1=sin（2x+
）+1=sin2（x+
）+1，

∴把函数y=sin2x的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=2cos2x的图象，故选：B．

7.【答案解析】B 解析：
?
?
?
?
，输出s=410

故选B

8.B

9.【答案解析】B 解析 ：解：根据题意得点P的坐标为：
所以

，所以选B.

10.【答案】B

【解析】试题分析：如图是函数
的简图，其图象关于直线
对称，由

得：
，
，所以
．

11.【答案解析】D 解析：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形:

即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，

阴影部分的面积25﹣2×
（5﹣2）2=16，

所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为
．

故选：D．

12.【答案解析】A 解析：①
在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数；

②
（x＞1）即f（x）=
，由于
＞2（x＞1），0＜f（x）＜
，故|f（x）|
，故存在M=
，即f（x）在（1，+∞）上是有界函数；

③
，导数f′（x）=
，当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，故x=e时取极大值，也为最大值且为
，故存在M=
，在（1，+∞）上有|f（x）|≤
，故函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数；

④
导数f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不单调，且|f（x）|≤x，故不存在M，函数f（x）在（1，+∞）上不是有界函数．

故选A．

13.【答案解析】3解析 ：解：由
=
，

所以，高级职称人数为15×
=3（人）；中级职称人数为45×
=9（人）；一般职员人数为90×
=18（人）．

所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为3，9，18．

故答案为：3，

14.【答案解析】
解析：由三视图可知，几何体是一个五面体，

五个面中分别是：一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；

两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是
的等腰三角形，

做出五个图形的面积

=
.

故答案为：
.

15.【答案】2

【解析】试题分析：由
得四边形
是菱形，则
，所以

16.【答案解析】4j+4；（n+1）?2n-2（n∈N*） 第三个数列的第j项是：4j+4；由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N*），即

所以数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列；则
=
+
(n-1)=
，所以an=（n+1）?2n-2（n∈N*），即最后一个数列的项是 （n+1）?2n-2（n∈N*）．故答案为4j+4；（n+1）?2n-2（n∈N*）．

17解（1）由
及余弦定理或正弦定理可得

所以
……5分

(2) 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝36．又b＋c＝8，所以bc＝．

由三角形面积公式S＝bcsin A，得△ABC的面积为． ……12分

18【答案】（1）
,
（2）
.

【解析】（1）第六组的频率为
,所以第七组的频率为

；

由直方图得后三组频率为
,

所以800名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人 6分

（2）第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,则有

共15种情况，

因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件
包含的基本事件为
共7种情况，故
． 12分

19．（ 12分）

解：（1）证明：取
中点
，连结
． 在△
中，
分别为
的中点，

所以
∥
，且
． 由已知
∥
，
，

所以
∥
，且
． 所以四边形
为平行四边形． 所以
∥
．

又因为
平面
，且
平面
，所以
∥平面
． 6分

（2）：
平面
,所以
所以

又
，设点
到平面
的距离为

则

，所以

20. 解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点
，由右焦点到直线
的距离为
，解得

又由椭圆的离心率为