山西大学附中2014年高三第一学期月考数学试题（理）

考查内容：高中全部

一．选择题（5×12=60分）

1.已知集合
,集合
,则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设等差数列
的前项和为
，
，则
等于（ ）

A．10 B．12 C．15 D．30

3．已知函数
则
( )

A.
B.
C. D.

4．下列命题错误的是( )

A. 命题“若
，则
”的逆否命题为

“若
中至少有一个不为
则
”；

B. 若命题
，则
；

C.
中，
是
的充要条件；

D. 若向量
满足
，则
与
的夹角为钝角.

5.右图给出的是计算
的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )

A.
B.
C.
D.

6.
( )

A．
B.
C.
D.视
的值而定

7. 曲线
在点（1，-1）处的切线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．若是和
的等比中项，则圆锥曲线
的离心率是( )

A．
B．
C．
或
D．
或

9. 已知函数
为偶函数，
，其图象与直线
的某两个交点的横坐标为
，若|
|的最小值为，则（ ）

A.
B.

C.
D.

10. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则这个四棱锥的体积是（ ）

A.1 B. 2 C.3 D. 4

11．已知平面区域
，

向区域内随机投一点，点落在区域
内的概率为（ ）A．
B．
C．
D．

12．已知函数

的最小值为（ ）

A． 6 B．8 C．9 D．12

二．填空题(5×4=20分)

13．已知复数满足
，则
_____.

14．已知
，
，
的夹角为60°，则
．

15. 设直线
与球有且只有一个公共点，从直线
出发的两个半平面
截球的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角
的平面角为
，则球的表面积为 .

16．已知数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
，设
，若在数列
中，

，则实数的取值范围是 ．

三．解答题(写出必要的文字说明和解答过程，共70分)

17．（本小题满分12分）

公差不为零的等差数列
中，
且
成等比数列。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的通项公式

18．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的
道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答对其中的
道题．规定每次考试都从备选的
道题中随机抽出
道题进行测试，答对一题加
分，答错一题（不答视为答错）减
分，至少得
分才能入选．

（1）求乙得分的分布列和数学期望；

（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

19．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点在平面
上的射影落在
的平分线上．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）椭圆：
的离心率为
，长轴端点与短轴端点间的距离为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点
的直线与椭圆交于
两点，为坐标原点，若
为直角三角形，求直线的斜率．

21.(本小题满分12分)

设函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）令
＜≤
，其图像上任意一点P
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数的取值范围；

（3）当
时，方程
在区间
内有唯一实数解，求实数的取值范围。

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

以直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(为参数，
)，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于、两点，当变化时，求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：

已知函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围．

山西大学附中2014年高三第一学期月考

数学试题（理）答案

一．选择题（5×12=60）

A

C

C

D

B

A



C

D

A

B

C

B





二．填空题（5×4=20）

三．解答题(共70分)

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)
． ……6分

(Ⅱ)
． ……12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为
，则
的可能取值为
．………………1分

；
；

；
． ………………5分

乙得分的分布列如下：





















































 ………………6分

． ………………7分

（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.

则
， ………………9分

． ………………11分

故甲乙两人至少有一人入选的概率
．……12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，……………………2分

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点落在
上，

∴
，易求得
，…………4分

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
…………6分

（Ⅱ）解法一：作
，垂足为
，连接
，

∵
⊥平面
，∴
，又
，

∴
平面
，∴
，∴
就是二面角
的平面角．…………9分

中，
，
，
．

∴
．即二面角
的余弦值为
.………12分

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一个法向量为

设平面
的一个法向量为

则，
可求得
．………………9分

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角
的余弦值为
．……12分

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知
，又
，解得
，

所以椭圆的方程为
；………………4分

(Ⅱ) 根据题意，过点
满足题意的直线斜率存在，设
，

联立
，消去y得
，

，令
，解得
． ………………7分

设、两点的坐标分别为
，

ⅰ）当
为直角时，

则
，

因为
为直角，所以
，即
，

所以
，

所以
，解得
．………………9分

ⅱ）当
或
为直角时，不妨设
为直角，

此时，
，所以
，即
……①

又
…………②

将①代入②，消去
得
，

解得
或
（舍去），

将
代入①，得
所以
，

经检验，所求k值均符合题意。 ………………11分

综上，k的值为
和
． ………………12分

22. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
……………………2分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴
…………4分

又∵
，∴
．……………………5分

（Ⅱ）∵
,
∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
.……………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得