★启用前绝密（2月2日）

2015年江西省 高三上学期期末联合考试

数学（文科）试卷

命题：高安二中 姜军辉 审题：熊芳升

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 集合
，
，
,则集合
的元素个

数为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
R)，
，若
为纯虚数，则
（　　）

A．
B．

C．2 D．

3．
是直线
和直线
垂直的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在边长为
的正方形
内任取一点
，则
到点
和C的距离都小于
的概率为

A．
B．
C．
D．

5. 若执行如右图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（　　）

A．

k＜6？

B．

k＜7？

C．

k＜8？

D．

k＜9？



6. 把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 直线
截圆
所得劣弧所对圆心角为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知
实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最小值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为(　　)．

A．(－∞，－1)　　　 B．(0,1)

C．[1，＋∞)　　　 D．(1，＋∞)

9．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为(　　)．

A．
B．
C．
D．

10.已知椭圆
与双曲线
有相同的焦

点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1
PF2，

则
的最小值为( )

A.
B.
C.4 D.9

11.已知函数
是定义域为
的偶函数. 当
时，
若关于
的方程
，
有且仅有6个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C.
D．

12．设定义在D上的函数
在点
处的切
线方
程为
，当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“类切点”，则
的“类切点”的横坐标是（ ）

A．1 B．
C．e D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在
中，若
，则角B=

14.已知
是单位向量，
.若向量
满足
________．

15.数列
中相邻两项
与

是方程
的两根，已知
，则
等于______________

16．已知函数
是定义在
上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式

恒成立，则实数b的取值范围是 ．

三、解答题：
本大题共六个大题，满分70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，

（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；

（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率

（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率

18.（12分）．已知单调递增的等比数列
满足：
,且
是
,
的等差中项。

（1）求数列
的通项公式;

（2）记数列
前
项的和为
，若数列
满足
，试求数列
前
项的和
.

19.（12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2, 又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.

(1)求证:AE⊥平面A1BD.

(2)求点B1到平面A1BD的距离.

20. (本小题满分12分)已知方向向量为
的直线
过点
和椭圆
的右焦点，且椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过点P
的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）若
在(0, 2)上无极值，求t的值；

（Ⅱ）若存在
，使得
是
在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；

（Ⅲ）当
时，若
为自然对数的底数)对任意
恒成立，求t的取值范围．

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点
，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

在极坐标系中，已知圆C的圆心
，半径r=
．

（ I）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（t为参数），直线
交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：

已知函数

（I）

（II）

2015年江西省四校高三上学期期末联合考试

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

BDADCA CABBCD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.
14. [2-
，2+
] 15. 992

．

三、解答题：本大题共6个题，共70分．

17．（12分）

解：（1）应从高一年级抽取4个班；高二年级抽取3个班，高三年级抽取2个班

（2）抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率为

（3）高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率为

18.（12分）．(
I)设等比数列{an}的首项为
，公比为q，

依题意，有
,

代入

, 得
=8,

∴
解之得
或
，

又{an}单调递增，∴
,
∴

(2) 由

19.（12分）

(1)证明(提示; 先分别由 BD⊥平面A1AC证AE⊥BD，

由
证AE⊥A1D，A1D和BD在平面A1BD内

且相交.所以AE⊥平面A1BD.)

(2) 点B1到平面A1BD的距离为
.

20. (12分)

（1）∵直线
的方向向量为

∴直线
的斜率为
，又∵直线
过
点

∴直线

的方程为

∵
，∴椭圆的焦点为直线
与
轴的交点

∴椭圆的焦点为

∴
，又∵

∴
，∴

∴椭圆方程为
------------5分

（2）设AB方程为
代入椭圆方程

整理得

………（7分）

………（9分）

当且仅当
（此时适合△＞0的条件）取得等号.

三角形ABF面积的最大值是
………………………………（12分）

21．（12分）

解：（Ⅰ）
，又
在(0, 2)无极值

…………………………………………3分

（Ⅱ）（1）当
时，
在
单调递减，在
单调递增，不合题意；

（2）当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

由
得：
在
时无解

（3）当
时，不合题意；

（4）当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，

即

（5）当
时，
在
单调递增，在
单调递减，满足条件

综上所述：
时，存在
，使得
是
在[0,2]上的最大值. …8分

（Ⅲ）当
时，若
对任意
恒成立，

即
对任意
恒成立，令
，
，
，
在
上是递增函数，

，
在
上递增，
，

所以t的取值范围为
1
2分

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

解：（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
…………2分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴
…………4分

又∵
，∴
．……………………5分

（Ⅱ）∵
,
∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
.……………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
．……………………10分

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

解：（Ⅰ）由
得，
直角坐标
，

所以圆
的直角坐标方程为
，…………2分

由
得，圆C的直角坐标方程为

． ………………………5分

（Ⅱ）将
，代入
的直角坐标方程
，

得
，则
，

设Ａ，Ｂ对应参数分别为
，
，则

，
，

，……………8分

因为
，所以

所以
的取值范围为
． ………………………10分

24．（10分）选修4－5：不等式选讲：

解：（I）
，利用几何意
义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于5，故，不等式的解集为

（II）令

由

所以

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