山西大学附中2014年高三第一学期月考数学试题（文科）

考查内容：高中全部

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题：对任意的
，有
，则
是（ ）

A．存在
，有
B．对任意的
，有

C．存在
，有
D．对任意的
，有

3．若公比为2且各项均为正数的等比数列
中，
，则
的值等于（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16

4．设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知角
的终边过点
，则
的值是（ ）

A．
B．
C．
或
D．随着
的取值不同其值不同

6．已知直线
及平面
，则下列命题正确的是 　　　　　　 （ ）

A.
B.
C.
D.

7．曲线
上的点P处的切线的倾斜角为
，则点P的坐标为 （ ）

A．（0，0） B．（2，4） C．
D．

8．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9. 下列函数中周期是2的函数是 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．椭圆
与直线
交于
两点，过原点与线段
中点的直线的斜率为
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．数列
满足
，且对于任意的
都有
则

等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
若关于的函数
有8个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）．

13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______．

14．设实数
满足
，则
的最大值为 ．

15．已知
在
时有极值0，则
的值为 　　　．

16．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17．（本小题满分12分）

公差不为零的等差数列
中，
且
成等比数列。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的通项公式

18．（本题满分12分）已知集合
，
.

（Ⅰ）在区间
上任取一个实数，求“
”的概率；

（Ⅱ）设
为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，
是从集合中任取的一个整数，求“
”的概率．

19．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点在平面
上的射影落在
的平分线上．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积

20．（本小题满分12分）椭圆：
的离心率为
，长轴端点与短轴端点间的距离为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点
的直线与椭圆交于
两点，为坐标原点，若
为直角三角形，求直线的斜率．

21.（本题满分12分）已知
，函数

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程.

（Ⅱ) 若
，求
在闭区间
上的最小值.

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

以直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(为参数，
)，曲线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于、两点，当变化时，求
的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：

已知函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围．

山西大学附中2014年高三第一学期月考

数学试题（文科）答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

C

B

D

D

A

C

A

B

D



13．18 　 14．
　　 　15．-7 16．.

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)
． ……6分

(Ⅱ)
． ……12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，……………………2分

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点落在
上，

∴
，易求得
，…………4分

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
…………6分

（文）
12分

19解：（Ⅰ）由已知
，
，2分

设事件“
”的概率为
，这是一个几何概型，则
.…………………6分

（Ⅲ）因为
，且
，

所以，基本事件共12个：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
. …………………2分

设事件为“
”，则事件中包含9个基本事件，…………10分

事件的概率
.…………………12分

20. （本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知
，又
，解得
，

所以椭圆的方程为
；………………4分

(Ⅱ) 根据题意，过点
满足题意的直线斜率存在，设
，

联立
，消去y得
，

，

令
，解得
． ………………7分

设、两点的坐标分别为
，

ⅰ）当
为直角时，则
，

因为
为直角，所以
，即
，所以
，

所以
，解得
．………………9分

ⅱ）当
或
为直角时，不妨设
为直角，

此时，
，所以
，即
……①

又
…………②将①代入②，消去
得
，解得
或
（舍去），

将
代入①，得
所以
，

经检验，所求k值均符合题意。 ………………11分

综上，k的值为
和
． ………………12分

21. （本题12分）

22. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵
,

∴
∽
,∴
……………………2分

又∵
,∴
, ∴
,

∴
∽
， ∴
， ∴
…………4分

又∵
，∴
．……………………5分

（Ⅱ）∵
,
∴
，∵
∴

由（1）可知：
，解得
.……………………7分

∴
． ∵
是⊙
的切线，∴

∴
，解得
．……………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由
，得

所以曲线C的直角坐标方程为
.……………………5分

（Ⅱ）将直线
的参数方程代入
，得
.

设、两点对应的参数分别为
、
，则

，

，

∴

，

当
时，
的最小值为4. ……………………10分

24．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）原不等式等价于

或

解得：
.

即不等式的解集为
． ……………………5分

（Ⅱ）不等式
等价于

，

因为
，所以
的最小值为4，

于是
即
所以
或
．…10分