山东省德州市2015届高三上学期2月期末统考

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟，

注意事项：

选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．

第I卷（共50分） ．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．

1．设
，则
=

A．-1-i B．-l+i

C．1-i D．l+i

2．满足条件
的所有集合B的个数为

A．8 B．4

C．3 D．2

3．
的定义域是

A.
B．

C.
D.

4．下列叙述中正确的是

A.若
为假，则一定是p假q真

B．命题“
”的否定是“
”

C．若a，b，c∈R，则“
”的充分不必要条件是“a>c”

D．设
是一平面，a，b是两条不同的直线，若
，则a//b

5．不等式
的解集为

A．[-4，2] B．

C．
D．

6．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄 在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频

A. 0. 04

B. 0. 06

C. 0. 2

D. 0. 3

7．当
时，
，则a的取值范围是

A．
B．

C．
D．

8．由不等式组
确定的平面区域记为
，不等式组
确定的平面区域记为　
，则　
与　
公共部分的面积为

A．　
　　 B．　
　　 C．　
　　 D．　

9．如图所示，由函数　
与函数　
在区间

上的图象所围成的封闭图形的面积为

A．　

B．　

C．　

D．　

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为　
，且两条曲线在第 一象限的交点为P，　
是以　
为底边的等腰三角形，若　
，椭圆与双曲线的离心率分别为　
，则　
的取值范围是

A．　
　 B．　

C．　
　　 D．　

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.已知实数　
，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小

于103的概率是________．

12．已知
，若△OAB是以O为

直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是_______.

13.若
且

，则实数m的值是

_________．

14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120
的

等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积的最大值为_______.

15.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数
，

使得
对任意的实数x成立，则称f(x)是回旋函数．

给出下列四个命题：

①常值函数
为回旋函数的充要条件是t= -1;

②若
为回旋函数，则t>l;

③函数
不是回旋函数；

④若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[0,4030]上至少有2015个零点．

其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数
．

(I)求
的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ)若将
的图象向左平移
个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间
上的最大值和最小值，

17.（本小题满分12分）

某单位为了丰富职工的业余生活，迎接“春节文艺汇演”，组织了10人参加“生活小百科” 知识竞赛，每人回答2个问题，答对题目的个数及对应人数统计结果如下表

根据以上信息解答以下问题：

(I)从10人中任选3人，求3人答对题目个数和为4的概率；

(Ⅱ)从10人中任选2人，用X表示2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，PC上底面ABCD，底面

ABCD是直角梯形，AB
AD，AB∥CD，AB=2AD=

2CD=2，PE-=2BE．

(I)求证：平面EAC
平面PBC；

(Ⅱ)若二面角P-AC-E的余弦值为
，求直线PA与

平面EAC所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

数列
中
，前n项和
．

(I)证明数列
是等差数列；

(Ⅱ)设
，数列
的前 n项和为
，试证明：
·

20.（本小题满分13分）

如图已知抛物线
的准线为
，焦点为F，圆

M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为

的直线t，交
于点A，交圆M于点B，且
=2.

(I)求圆M和抛物线C的方程；

(Ⅱ)已知点N(4，0)，设G，H是抛物线上异于原点O的两个

不同点，且N，G，H三点共线，证明：
并求△GOH面

积的最小值．

21.（本小题满分14分）

已知函数　
，其中e为自然对数的底数，a为常数．

(I)若函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a的值；

(Ⅱ)若对任意
，不等式
恒成立，求a的取值范围．

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