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| 简介：
四川省绵阳市重点高中2015届高三上学期第五次月考数学理 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集U={1，2 ，3 ，4，5}，集合 则集合中的元素的个数为 （ ）1B (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.已知 ( )2 C A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i 3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，lα，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题个数是 （ ）3选B． A．1 B．2 C．3 D．4 4、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果是 4 B
（B） （C） （D） 5．在△OAB中，，若，则( ) 5 D A． B． C． D． 6．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为 （ ）6。D A． B． C． D． 7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为值域为{9}的“孪生函数”三个： （1）； （2）； （3） 那么函数解析式为值域为{1，5}的“孪生函数”共有 （ ） 7 B A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8.已知变量x，y满足的值范围是 8 A
9.函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是9 A （A） (B) (C) (D) 10. 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C 地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流 的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离 比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上 选一处M建一座码头，向B、C两地转运 货物.经测算，从M到B、M到C修建公 路的费用分别是a万元/km、2a万元/km， 那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A．(2－2)a万元 B．5a万元 C．(2+1) a万元 D．(2+3) a万元 10．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x2－＝1，点C的坐标为（3，）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有|M M|=|MB|，所以=2a[|M M|+|MC|]≥2a|C C|=2a×（3-）=5a.当且仅当点M在线段C C上时取等号，故ω的最小值是5a. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11． 已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式(x－1)2>m的解集为R.若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________． 11．0≤m< [解析] 由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，即m<，由不等式(x－1)2>m的解集为R，得m<0.要保证命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m< 12.已知函数（>0, ）的图象如右图所示，则 = . 12． 13. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_____________． 13. 由二项式定理知: 的展开式中的系数为 C·,的展开式中的系数为C·,于是有C·= C·,解得 =. 14.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是 14、 15.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 . 15 ①②③ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16． (本小题满分12分)在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a,b,c，其中c=10，且 （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积。 16． (本小题满分12分) （1）证明：根据正弦定理得， 整理为： 因为0 所以A=B，或者A+B= 3分 由于 故△ABC是直角三角形。 5分 （2）由（1）可得：a=6,b=8. 在Rt△ABC中， 8分 连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5。 所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC = 10分 17(本小题满分12分) 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为； （1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲队得分为的分布列和数学期望。 17(本小题满分12分) （1）设用队获第一且丙队获第二为事件A，则 ………………………………………（6分） （2）可能的取值为0，3，6；则 甲两场皆输： 甲两场只胜一场： 甲两场皆胜： 的分布列为 …………………………（12分） 18．（本题满分12分） 如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求直线到平面的距离； （3）求二面角的正切值． 18．(本小题满分12分) 解：(1)证明:连结C1E,则C1E?A1B1, 又∵A1B1?C1C,∴A1B1?平面EDC1,∴A1B 1?DE, 而A1B1//AB,∴AB?DE. (2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF?AB,∴AB?DF. 过E作直线EH?DF于H点,则EH?平面DAB,∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离. 在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2, ∴在△DEF中,EH=, 故直线A1B1到平面DAB的距离为. (3)过A作AM?BC于M点,则AM?平面CDB, 过M作MN?BD于N点,连结AN,则AN?BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角, 在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=, 在Rt△AMN中,tan∠ANM= 19．已知函数在（0，+∞）上的最小值是（n∈N+））． （1）．求数列｛｝的通项公式． （2）．证明：<． （3）．在点列…….中是否存在两点Ai ,Aj 其中i, j∈N+ ．，使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由． 19解：（1）．由f (x)=2n－x，得 =……………1分． 令 =0，得x=……………………2分． 当x∈(0 , )．时， <0．当x∈ (,+∞)时， >0． ∴f (x )在0，+∞．上有极小值f ( ) =． ∴数列｛an｝的通项公式an=…………………………………5分． （2）．∵………………………6分．． ∴= ………………8分． （3）．依题意，设Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k= ……………………9分． =1……………………11分． ∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………12分．． 20．（本小题满分13分）如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN； （3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。 20．(本小题满分13分) 解（1） ………………………………（文6分，理4分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意 当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程 整理得 则 综上可知：恒有.………………………………（文13分，理9分） （3）（理科） 当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号. 三角形ABF面积的最大值是………………………………（理13分） 21．(本小题共l4分) 已知函数f(x)= x + , h(x)= ． (I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值； (Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4 []=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)； (Ⅲ)试比较与的大小. 21、解：（Ⅰ）由（）知，，令，得． 当时，；当时，． 故当时，是减函数；时，是增函数． 函数在处有得极小值． （Ⅱ）方法一：原方程可化为， 即为，且 ①当时，，则，即， ，此时，∵， 此时方程仅有一解． ②当时，，由，得，， 若，则，方程有两解； 若时，则，方程有一解； 若或，原方程无解． 方法二：原方程可化为， 即， ①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解； ③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得． 设数列的前n项和为，且（） 从而，当时，． 又 ． 即对任意时，有，又因为，所以． 故． | ||||||||||||||||||||||||||||||
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