2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试

数 学（文史类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
,集合
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

抛物线
的焦点坐标是

(A) (0,1) (B) (0，-1) (C) (-1,0) (D) (1,0)

3. 函数
的图象

(A) 关于
轴对称 (B) 关于
轴对称

(C) 关于原点对称 (D) 关于直线
对称

4.给出下列三个命题：

①命题
：
,使得
， 则
：
，使得

②
是“
”的充要条件.

③若
为真命题，则
为真命题.

其中正确命题的个数为

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5.执行如图所示的程序框图，输出的
值是

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

6.已知
则
的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

7.已知单位向量
和
的夹角为
,记
,
, 则向量
与
的夹角为

(A)
(B)
(C)
(D)

8.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是

(A)

(B)

(C)

(D)

在平面直角坐标系中，椭圆
的焦距为
，以
为圆心，
为半径作圆，

过点
作圆的两条切线互相垂直，则离心率
为

(A)
(B)

(C)
(D)

10.设函数
，若存在唯一的
，满足
，则正实数
的最小值是

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知
是虚数单位，则
▲.

12.函数
的图像在点
处的切线方程为▲.

13.在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
，则角B的大小为▲.

14.如图是一容量为
的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为▲.

15.对于函数
，有下列4个结论：

①任取
，都有
恒成立；

②

，对于一切
恒成立；

③函数
有3个零点；

④对任意
，不等式
恒成立．

则其中所有正确结论的序号是▲.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.

（本题满分12分）

已知函数
，且周期为
.

（I）求
的值；

（II）当
[
]时，求
的最大值及取得最大值时
的值.

17.（本题满分12分）

某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm）

高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163

高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178

（I）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率；

（II）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统计结论.

（本题满分12分）

如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O, G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC
平面ABC.

求证:
//平面
；

（II）若AB=2，BC=1，
,试求该几何体的V.

19.（本题满分12分）

已知数列
是等差数列，首项
，公差为
，且
成等比数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）令
，求数列
的前
项和
.

20．（本题满分13分）

已知函数
在
处取得极值
.

（I）求实数
的值；

（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.

21.（本题满分14分）

已知焦点在
轴上的椭圆
，焦距为
，长轴长为
.

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆交于
两点.

证明：点
到直线
的距离为定值，并求出这个定值；

（ii）求
.

高中2012级一诊测试

数学(文史类)参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

C

C

D

C

A

A

B



二、填空题

11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13.
14. 12 15. ①③④

三、解答题

16.解：(1)∵
.....（2分）

=
..................................................................（4分）

∵
且
， 故
......................................................................（6分）

:由(1)知

∵
∴
................................................................................（7分）

∴
.

∴
.......................................................................................（9分）

∴当
时，即
，
取得最大值为
............................................（12分）

17.解：（Ⅰ）高二学生身高不低于170的有170，180，175，171，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种…………………（3分）

故P（“恰有两名同学的身高低于175”）=
……………… （6分）

（Ⅱ）茎叶图：

高二



高三









0

18

3











6

5

1

0

17

1

3

5

8

9



9

6

3

2

16

3

6

9













8

15

7













…………………………………（9分）

统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分）

①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高；

②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；

③高二学生的身高的中位数为169.5cm，高三学生的身高的中位数为172cm；

④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； ……………………………………（12分）

18. (1)证明：连结GO,OH

∵GO//AD,OH//AC...................................................................................................................（2分）

∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO交HO于O................................................................（4分）

∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分）

∴GH//平面ACD..........................................................................................................（6分）

(2)法一：∵
..............................................................................................（8分）

∵AB=2,BC=1.

∵

∴
.

.

.........................................................（11分）

∴
.............................................................................（12分）

法二：∵DC
平面ABC ∴DC
AC

又∵AC
BC ∴AC
平面BCDE.......................................................（8分）

∵