石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷

高三数学（理）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中，在
上单调递减的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．点
与圆
的位置关系是（ ）

A.点在圆内 B.点在圆外

C.点在圆上 D.与
的值有关

4. 某程序框图如右图所示，该程序运行 输出的
值是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

5．以
为公比的等比数列
中，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6．如果实数
满足不等式组
目标函数
的最大值为6，最小值为0，则实数
的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，

最长的棱的长度为（ ）

A.
B.

C.
D.

8. 函数
的定义域为
，图象如图1所示；函数
的定义域为
，图象如图2所示，方程
有
个实数根，方程
有
个实数根，则
( )

A.6 B. 8 C. 10 D. 12

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．若复数
,
,则
．

10.
为等差数列，
，公差
，
、
、
成等比数列，则
．

11．如图，在边长为2的菱形
中
，
为
中点，则
 ．

12.若抛物线
的焦点与双曲线
的焦点重合，则
的值为 ．

13. A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，

则路程最短的走法有 种（用数字作答）．

14. 设
为非空实数集，若
，都有
，则称
为封闭集．

①集合
为封闭集；

②集合
为封闭集；

③若集合
为封闭集，则
为封闭集；

④若
为封闭集，则一定有
.

其中正确结论的序号是____________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

如图所示，在四边形
中，
，
，
；
为
边上一点，
，
，
.

（Ⅰ）求sin∠CED的值；

（Ⅱ）求BE的长．

16．（本小题共13分）

某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.

（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；

（Ⅱ） 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

17．（本小题共14分）

如图,在四面体
中,
平面
,
.
是
的中点,
是
的中点.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若点
在线段
上，且满足
,求证：
平面
；

（Ⅲ）若
,求二面角
的大小.

18.（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
是函数
的极值点，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间.

19.（本小题共14分）

已知椭圆
的离心率为
，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线
交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数
的取值范围.

20．（本小题共13分）

对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称
具有性质
．

（Ⅰ）判断
是否具有性质
；

（Ⅱ）若
，且
具有性质
，求
的值；

（Ⅲ）若
具有性质
，求证：
，且当
时，
．

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

A

D

 B

B

D

C





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案



4029

1



10

 ②④



 【12题只答一种情况得3分】

三、解答题共6小题，共80分．

15．（本小题共13分）

（Ⅰ）设
.在
中，由余弦定理，得

…………………2分

得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)． …………………4分

在
中，由正弦定理，得
…………………6分

（Ⅱ）由题设知
，所以
…………………8分

而
，所以

. ………………11分

在
中，
. …………………13分

16．（本小题共13分）

（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件
，依题意有

. …………………3分

（Ⅱ）该考生所得分数为
，则
的所有可能取值为
. ……4分

， ……6分

， ……8分

……10分

……12分

分布列为：



























……………………13分

17．（本小题共14分）

（Ⅰ）
,

………………2分

且

………………4分

（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，

所以
且
；

取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,

所以,
且
，

所以，四边形
为平行四边形，

所以
，且
,

所以PQ//面BDC. ……………………9分

(III)如图建系,

则
,
,
,
……………………10分

设面
的法向量

,

,即

令
,则

设面
的法向量
……………………11分

即

令
, 则
……………………12分

所以二面角
的大小为
…………………14分

18.（本小题共13分）

（Ⅰ）函数
的定义域为
. ………………1分

. ………………3分

因为
是函数
的极值点，所以
.…………5分

解得
或
.

经检验，
或
时，
是函数
的极值点. ……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

.

由
，令
，解得
.……9分

当
时，
的变化情况如下表











+

0

-





↗

极大值

↘



∴函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是