石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷

高三数学（文）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
,
,
, 则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中，在
上单调递增，并且是偶函数的是（ ）

A.
 B.
 C.
 D.


3．已知向量
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）

A.
B.
 C.
 D.


5．设
为实数，命题甲：
，命题乙：
， 则命题甲是命题乙的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6．函数
的零点所在的区间是（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

7．若点
和点
到直线
的距离依次为
和
，则这样的直线有（ ）

A.
条 B.
条 C.
条 D.
条

8．某同学为了研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为
的正方形
和
，点
是边
上的一个动点，设
，则
．那么可推知方程
解的个数是（ ）

A.
 B.


C.
 D.


第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 若复数
,
,则
.

10．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
的值为 ．

11．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
，则
____________．

12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．

13．已知不等式组
表示的平面区域
的面积为
，则
；若点
，则
的最小值为 .



























































14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为　　　　，最大值为　　　　.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题共13分）

设数列
满足:
,
,
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式及前
项和
；zhangwlx

(Ⅱ)已知数列
是等差数列,
为
的前
项和,且
,
,

求
的最大值.

16．（本小题共13分）

已知函数
的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值与最小值.

17．（本小题共14分）

如图所示，在正方体
中，
分别是棱
的中点．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）证明：
//平面
；

（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体
的体积.

18．（本小题共13分）

某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组

频数

频率



第1组

[60,70)

M

0.26



第2组

[70,80)

15

p



第3组

[80,90)

20

0.40



第4组

 [90,100]

N

q



合计

50

1





（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；

（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；

（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.

19．（本小题共14分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为2，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设直线
经过点
，且与椭圆
交于
两点，若
，求直线
的方程.

20. （本小题共13分）

已知函数
，
为其导函数，且
时
有极小值
．

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）若不等式
（
为正整数）对任意正实数
恒成立，求
的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：
）

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试

高三数学（文）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

D

A

B

B

C

A



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案















(13题、14题第一空2分,第二空3分)

三、解答题共6小题，共80分．

15．（本小题共13分）

（Ⅰ）由已知，
是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分

所以
， ………………………4分

所以
. ………………………………………6分

(Ⅱ)
,
………………………………………8分

, ………………………………………10分

当
时，
有最大值49. ……………………………13分

16．（本小题共13分）

（Ⅰ）
…………………………2分

因为点
在函数图象上，得
.

由
可得
，

即
. ………………………………………………4分

因为点
在函数图象上，
.

故函数
的解析式为
……………………6分

（Ⅱ）因为
，所以
. ……………9分

当
时，即
时，
的最小值为
；…………………11分

当
时，即
时，
的最大值为
. ………………13分

17．（本小题共14分）

（Ⅰ）证明:

因为
为正方体，

所以
面
；

因为
面
，所以
． …………2分

又因为
，
，所以
面

因为
面
,所以平面
面
. …………5分

（Ⅱ）连接
,
//
，且

，

设
，

则
//
且

,

所以
//
且

，

所以四边形
为平行四边形. 所以
//
. …………9分

又因为
，

．

所以
//面
…………11分

（Ⅲ）
…………………14分

18．（本小题共13分）

（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，q=0.04， …………………2分

………………4分

（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计