包头市第一中学2015届高三上学期期末考试

数学（理）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的代码填在答题卡上）

1．已知集合
= （ ）

A．
B．

C．
D．

2．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80~100分的学生人数是（ ）

A．15 B．18 C．20 D．25

3．已知圆的方程为
，设该圆过点
的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

4．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 （ ）

A．2 B．4 C．
D．

5．函数
按向量
平移后得到的函数解析式为 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则数列
的前100项和为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若变量x，y满足条件
，则
的最大值为（ ）

A．
B．0 C．3 D．4

8．某同学设计如图的程序框图用以计算

的值，则在判断框中应填写（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设偶函数
满足
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

10．直三棱柱
中，
，
、
分别是
，
的中点，
，则
与
所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知双曲线
的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得
为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（ ）

A．
B．1 C．2 D．3

12．已知
为常数，函数
有两个极值点
，则（ ） A．
B．
[来源:学优高考网]

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）

13.抛物线
的焦点坐标是 .

14．已知函数
有零点，则a的取值范围是 ．

15. 设
和
为不重合的两个平面，给出下列命题：①若
内的两条相交直线分别平行于
内的两条直线，则
∥
；②若
外的一条直线
与
内的一条直线平行，则
∥
；③设
，若
内有一条直线垂直于
，则
；④直线
的充要条件是
与
内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是 .

16.在
中，
为
边上的一点，
，
，
，若
，则
.

三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题步骤）

17.（本小题满分10分）

已知函数
.

⑴求
的最小正周期；

⑵求
在区间
上的最大值和最小值.

18.（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，内角
、
、
的对边分别为
、
、
，且
.

⑴求角
的大小；

⑵ 若
，求
的面积.

19．（本小题满分12分）

设
为数列{
}的前项和，已知
，2
，
N

⑴求
，
，并求数列｛
｝的通项公式；

⑵求数列｛
｝的前
项和.

20. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，
，PD∥QA，
.

⑴证明：
；

⑵求二面角
的余弦值.

21. （本小题满分12分）

如图，椭圆
的离心率为
，直线
和
所围成的矩形ABCD的面积为8.

⑴求椭圆M的标准方程；

⑵设直线
与椭圆M有两个不同的交点
与矩形ABCD有两个不同的交点
.求
的最大值及取得最大值时m的值. [来源:gkstk.Com]

22. （本小题满分12分）

已知函数
满足满足
；

⑴求
的解析式及单调区间；

⑵若
，求
的最大值.

包头一中2014——2015学年度第一学期期末考试

高三年级理科数学试题答案 2015.1.18

三、17.解：
…………………………4分

⑴
； …………………………6分

⑵
，
……………10分

18. 解：（Ⅰ）由已知得到：
，且
，且
； …………………………6分

（Ⅱ）由（1）知
，由已知得到：

，

所以
； …………………………12分[来源:gkstk.Com]

设
是平面PBC的一个法向量，则
，即
，

因此可取
………………7分

设
是平面PBQ的一个法向量，则
，即
，

因此可取
，………………9分

所以
，…………11分

因为二面角Q-BP-C为钝二面角

故二面角
的余弦值为
………………12分

21. (I)
……①

矩形ABCD面积为8，即
……②

由①②解得：
，∴椭圆M的标准方程是
. ………………4分[来源:学优高考网gkstk]

(II)
，

设
，则
，

由
得
. ………………5分

. ………………6分

当
过
点时，
，当
过
点时，
.

①当
时，有
，[来源:学优高考网]

，

其中
，由此知当
，即
时，
取得最大值
. ……8分

②由对称性，可知若
，则当
时，
取得最大值
. ………………9分

③当
时，
，
，

由此知，当
时，
取得最大值
. ………………11分

综上可知，当
和0时，
取得最大值
. ………………12分

22. （1）
[来源:gkstk.Com]

令
得：

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