2015届高三会考试题理科数学

2014.11

本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

第一部分（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数
的定义域为，函数
的值域为，则

A.
B.
C. D.

2．下列函数中最小正周期为
的函数是

A.
B.

C.
D.

3．下列函数中,满足“
”的单调递增函数是

A.
B.

C.

D.

甲

乙

丙

丁





9.1

9.3

9.3

9.2





5.7

6.2

5.7

6.4



4．某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数及其方差
如表所示,若从中选送一人参加决赛,则最佳人选是

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

5．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为

A.
B.

C.
D.

6．定积分
的值为

A.
B.
C.
D.

7．执行程序框图，如果输入
，则输出的数等于

A.
B.
C.
D.

8．在数列
中,“
”是“
是公比为2的等比数列”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离与行走时间之间函数关系的图像．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是

A B C D

10．在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为
，定义如下：对于任意两个复数
，
（
，
为虚数单位），
当且仅当
,下面命题中假命题是

A.1i0

B.若
,
,则

C.若
,则对于任意
,

D.对于复数
,则

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间的函数关系分别是
,如果运动的时间足够长,则运动在最前面的物体一定是 ☆ .

12．已知直线l:
，则以与点
关于直线l对称的点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是 ☆ .

13．向量
，
为锐角，若
||
,则
的值为

☆ .

14．已知
，
，
，

.

根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ☆ .

15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

A．(不等式选做题)设
,且
,

则
的最小值为 ☆ .

B．（几何证明选做题）已知
，
分别为⊙
的两条切线，切点分别为
，过
的中点
作割线交⊙
于
两点，若
，则
☆ .

C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
上的点到直线
距离的最大值为 ☆ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题12分）在
中,角
的对边分别为
,且

.

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)若
,
,求角B、边的值.

17．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知点
.

(Ⅰ)若
,且
,求,的值；

(Ⅱ)若点
为直线
上的一个动点，求证
恒为锐角．

18．（本小题12分）如图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥BE;

(Ⅱ)求二面角A—CD—E的余弦值.

19．（本小题12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据,如下表所示:

一次购物量 (件)

1≤n≤3

4≤n≤6

7≤n≤9

10≤n≤12

n≥13



顾客数(人)



18

10

3





结算时间(分钟/人)

0.5

1

1.5

2

2.5



已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%.

(Ⅰ)确定与的值;

(Ⅱ)若将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间
的分布列与数学期望．

20．（本小题13分）已知圆
的圆心为
,半径为
,圆
与椭圆

:
有一个公共点A(3,1),
分别是椭圆的左右焦点.

(Ⅰ)求圆
的标准方程;

(Ⅱ)若过点P(4,4)且斜率为k的直线
与圆
相切,求出椭圆和直线
的方程.

21．（本小题14分）已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;

(Ⅱ)求
的单调区间．

2015届高三会考数学试题参考答案

2014.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



理科答案

C

A

B

C

C

C

C

B

D

D



文科答案

D

A

B

B

D

C

C

C

B

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11（文理）．d 12（理）．
12（文）．
13（理）．

13（文）．
14（文理）．
，

15（文理）．A．5 B．
C．

三、解答题．

16（理）．解: (Ⅰ)由
,

得
,

即
,

则
，即
（6分）

(Ⅱ)由
，又
，∴
，

由正弦定理得
. 由题知
，则
，∴

（注：也可由
得角A为钝角，所以角B为锐角；若角B算两个值扣2分）

根据余弦定理,有
,

解得
，
（舍去），故
，
（12分）

16（文）．解:(Ⅰ)在△ABC中，∵
，由正弦定理得
，

又
，∴
（6分）

(Ⅱ) ∵
成等比数列，∴
又∵
，∴

在△ABC中,由余弦定理得
（12分）

17（理）、19（文）．解:(Ⅰ)∵
,∴

∴

∴
，
（6分）

(Ⅱ)因为点
在直线
上，所以点

∴

∴

恒成立

∴
（10分）

若
三点在一条直线上,则
,

得到
,方程无解,所以

故
恒为锐角 （12分）

17（文）．解:(Ⅰ)因为样本容量与总体中的个数的比是
,

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:
,
,
,

所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,2,3. （6分）

(Ⅱ)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为
,

则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:
,
,
,

,共15个. （9分）

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的,

记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,

则事件D包含的基本事件有:
共4个.

所有
,即这2件商品来自相同地区的概率为
. （12分）

18．解：(Ⅰ)（文理）ABCD是矩形，∴BC⊥AB，

平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC
平面ABCD，∴BC⊥平面EAB，

EA
平面EAB，∴BC⊥EA ， BF⊥平面ACE，EA
平面ACE，∴BF⊥EA，

BCBF=B，BC
平面EBC，BF
平面EBC，

∴EA⊥平面EBC， BE
平面EBC，∴ EA⊥BE （6分）

(Ⅱ)（理）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为轴，轴如图建立空间直角坐标系，
则:
，

由(Ⅱ)知
是平面ACD的一个法向量，

设平面ECD的法向量为
，则
，

即
，
令
，则
，

所以
， 设二面角A—CD—E的平面角的大小为
，由图得
，
，所以二面角A—CD—E的余弦值为
.（12分）

(Ⅱ)（文）EA⊥ BE，∴

（8分）

设O为AB的中点，连结EO， ∵AE=EB=2，∴EO⊥AB，

平面EAB⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD，

∴即EO为三棱锥E—ADC的高，且
， （10分）

∴
（12分）

19（理）．解：(Ⅰ)依题意得,
,
,

解得
,
. （4分）

(Ⅱ)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本,将频率视为概率得,

,
,
,
,
. （9分）

所以
的分布列为

0.5

1

1.5

2

2.5





0.24

0.36

0.2

0.06

0.14




的数学期望为

. （12分）

20（理）．解: (Ⅰ)由已知可设圆C的方程为
.

将点A的坐标代入圆C的方程,得
,

即
,解得
. （4分）

∵
,∴
,∴圆C的方程为
. （6分）

(Ⅱ)依题意,可得直线
的方程为
,即
.

若直线
与圆C相切,则
.

∴
,解得
. （8分）

当
时,直线
与x轴的交点横坐标为
,不合题意,舍去;

当
时,直线
与x轴的交点横坐标为
,

∴
, （10分）

∴由椭圆的定义得

,

∴
,即
, ∴
,

∵直线
能与圆C相切,

∴直线
的方程为
,椭圆E的方程为
. （13分）

20（文）．解:(Ⅰ)由椭圆方程
，得
,
,
,
.

所以椭圆
的焦点坐标为
,
,长轴长
为
. （6分）

(Ⅱ)由
可得:
.

解得: