2015届高三会考试题文科数学

2014.11

本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

第一部分（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，集合B为函数
的定义域，则

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中最小正周期为
的函数是

A.
B.

C.
D.

3．在复平面内，复数
对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4．下列函数中,满足“
”的单调递增函数是

A.
B.
C.

D.

5．为了估计某鱼塘中鱼的尾数，先从鱼塘中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回鱼塘，经过适当的时间，再从鱼塘中捕出600尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该鱼塘中鱼的尾数为

A.10000 B.20000 C.25000 D.30000

甲

乙

丙

丁





9.1

9.3

9.3

9.2





5.7

6.2

5.7

6.4



6．某射击俱乐部四名运动员甲、乙、丙、丁在选拔赛中所得的平均环数及其方差
如表所示,若从中选送一人参加决赛,则最佳人选是

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

7．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

8．执行下面的程序框图，如果输入
，则输出的数等于

A.
B.
C.
D.

9．在数列
中,“
”是“
是公比为2的等比数列”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10．如图是王珊早晨离开家边走边背诵英语过程中离家距离与行走时间之间函数关系的图像．若用黑点表示王珊家的位置，则王珊步行走的路线可能是

A B C D

第二部分（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间的函数关系分别是
,如果运动的时间足够长,则运动在最前面的物体一定是 ☆ .

12．向量
，若
,则
的值为 ☆ .

13．已知抛物线
上一点
，则抛物线的准线方程为 ☆ .

14．已知
，
，
，

.

根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ☆ .

15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

A．(不等式选做题)设
,且
,

则
的最小值为 ☆ .

B．（几何证明选做题）已知
，
分别为⊙
的两条切线，切点分别为
，过
的中点
作割线交⊙
于
两点，若
，则
☆ .

C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
上的点到直线
距离的最大值为 ☆ .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题12分）已知
内角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ)若
,求；

(Ⅱ)若
成等比数列，求
的值.

17．（本小题12分）海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C



数量

60

120

180



(Ⅰ)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;

(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

18．（本小题12分）如图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥BE；

(Ⅱ)求三棱锥D—AEC的体积.

19．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知点
.

(Ⅰ)若
,且
,求,的值；

(Ⅱ)若点
为直线
上的一个动点，求证
恒为锐角.

20．（本小题13分）已知直线
与椭圆
:
交于
两点.

(Ⅰ)求椭圆
的焦点坐标及长轴长；

(Ⅱ)求以线段
为直径的圆的方程.

21．（本小题14分）已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;

(Ⅱ)求
的单调区间.

2015届高三会考数学试题参考答案

命题人： 吴晓英 张新会 齐宗锁 2014.11

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



理科答案

C

A

B

C

C

C

C

B

D

D



文科答案

D

A

B

B

D

C

C

C

B

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11（文理）．d 12（理）．
12（文）．
13（理）．

13（文）．
14（文理）．
，

15（文理）．A．5 B．
C．

三、解答题．

16（理）．解: (Ⅰ)由
,

得
,

即
,

则
，即
（6分）

(Ⅱ)由
，又
，∴
，

由正弦定理得
. 由题知
，则
，∴

（注：也可由
得角A为钝角，所以角B为锐角；若角B算两个值扣2分）

根据余弦定理,有
,

解得
，
（舍去），故
，
（12分）

16（文）．解:(Ⅰ)在△ABC中，∵
，由正弦定理得
，

又
，∴
（6分）

(Ⅱ) ∵
成等比数列，∴
又∵
，∴

在△ABC中,由余弦定理得
（12分）

17（理）、19（文）．解:(Ⅰ)∵
,∴

∴

∴
，
（6分）

(Ⅱ)因为点
在直线
上，所以点

∴

∴

恒成立

∴
（10分）

若
三点在一条直线上,则
,

得到
,方程无解,所以

故
恒为锐角 （12分）

17（文）．解:(Ⅰ)因为样本容量与总体中的个数的比是
,

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:
,
,
,

所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,2,3. （6分）

(Ⅱ)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为
,

则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:
,
,
,

,共15个. （9分）

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的,

记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,

则事件D包含的基本事件有:
共4个.

所有
,即这2件商品来自相同地区的概率为
. （12分）

18．解：(Ⅰ)（文理）ABCD是矩形，∴BC⊥AB，

平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC
平面ABCD，∴BC⊥平面EAB，

EA
平面EAB，∴BC⊥EA ， BF⊥平面ACE，EA
平面ACE，∴BF⊥EA，

BCBF=B，BC
平面EBC，BF
平面EBC，

∴EA⊥平面EBC， BE
平面EBC，∴ EA⊥BE （6分）

(Ⅱ)（理）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为轴，轴如图建立空间直角坐标系，
则:
，

由(Ⅱ)知
是平面ACD的一个法向量，

设平面ECD的法向量为
，则
，

即
，
令
，则
，

所以
， 设二面角A—CD—E的平面角的大小为
，由图得
，
，所以二面角A—CD—E的余弦值为
.（12分）

(Ⅱ)（文）EA⊥ BE，∴

（8分）

设O为AB的中点，连结EO， ∵AE=EB=2，∴EO⊥AB，

平面EAB⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD，

∴即EO为三棱锥E—ADC的高，且
， （10分）

∴
（12分）

19（理）．解：(Ⅰ)依题意得,
,
,

解得
,
. （4分）

(Ⅱ)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本,将频率视为概率得,

,
,
,
,
. （9分）

所以
的分布列为

0.5

1

1.5

2

2.5





0.24

0.36

0.2

0.06

0.14




的数学期望为

. （12分）

20（理）．解: (Ⅰ)由已知可设圆C的方程为
.

将点A的坐标代入圆C的方程,得
,

即
,解得
. （4分）

∵
,∴
,∴圆C的方程为
. （6分）

(Ⅱ)依题意,可得直线
的方程为
,即
.

若直线
与圆C相切,则
.

∴
,解得
. （8分）

当
时,直线
与x轴的交点横坐标为
,不合题意,舍去;

当
时,直线
与x轴的交点横坐标为
,

∴
, （10分）

∴由椭圆的定义得

,

∴
,即
, ∴
,

∵直线
能与圆C相切,

∴直线
的方程为
,椭圆E的方程为
. （13分）

20（文）．解:(Ⅰ)由椭圆方程
，得
,
,
,
.

所以椭圆
的焦点坐标为
,
,长轴长
为
. （6分）

(Ⅱ)由
可得:
.

解得:
或
. 所以点
的坐标分别为
,
. （8分）

所以
中点坐标为
,
. （10分）

所以以线段
为直径的圆的圆心坐标为
,半径为
. （12分）

所以 以线段
为直径的圆的方程为
. （13分）

21（文理）．解: (Ⅰ)因为
,
,所以
,
,
,所以切线方程为
. （6分）

(Ⅱ)
,

由
得
,