福建省漳州八校2015届高三上学期联考数学（理）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）.

1．复数
等于

A．
B．
C．－1+i D．－1－i

2．命题“对任意的
”的否定是

A．　不存在
B．　存在

C．　存在
D．　对任意的

3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A．
　　　　　　　　　　 　B．

C．
　　　　　　　　　　　 D．

4.设
若
的最小值为 (　)

A 8 B 4 C 1 D

5.如果执行右面的框图，输入
，则输出的数等于(　　)

A
B
C
D

6.若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题 正确的是(　　)

A．若m∥α，nα，则m∥n B．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n

C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α

7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)

A  B  C  D 

8．为得到函数
的图象，只需将函数
的图象(　　)

A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位

9.设变量x，y满足约束条件：
.则目标函数z=2x+3y的最小值为(　　)

A 6 B 7 C 8 D 23

10.设非空集合
满足：当
时，有
。给出如下三个命题工：①若
，则
；②若
，则
；③若
，则
。其中正确命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卷中的横线上）.

11.设向量a＝(cosθ，1)，b＝(1,3cosθ)，且a∥b，则cos2θ＝________.

12.
的展开式的常数项是 （用数字作答）

13．如右图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为_________ cm时，小盒子容积最大。

14．已知函数
，
，
，实数
是函数
的一个零点．给出下列四个判断：①
；②
；③
；④
．其中可能成立的是____________（填序号）

15．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝________.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

16．（本小题满分13分）

已知向量
，函数

（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间

（2）已知角A,B,C所对应的边分别为
，A为锐角，
，且
是函数在
上的最大值，求

17．(本小题满分13分)

甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：

若将频率视为概率，回答下列问题．

(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；

(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．

18.(本小题满分l3分)

设数列
满足
，

（Ⅰ)求数列
的通项公式：

（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和
.

19．(本小题满分13分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1 的中点．

(I)求证：EF∥平面ACD1；

(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知函数

（I）当
时，求函数
的图像在
处的切线方程；

（II）判断函数
的单调性；

（III）求证：

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
，
，矩阵
对应的变换把曲线
变为曲线C，求Ｃ的方程．

（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是
(t为参数)

①. 把直线与曲线C的方程化为普通方程

②.求直线与曲线C相交所成弦的弦长．

（3)（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲

①.设函数f(x)＝｜x＋1｜－｜x－4｜，解不等式f（x）＜2；

②.已知
，且
，求
的最小值．

．

2014—2015学年漳州八校高三第一次联考理科数学答案

一、选择题：(每小题5分，满分50分)．

1．D． 2．C． 3．D． 4． B． 5．D．6．B． 7．C． 8．A． 9．B． 10．D．

二、填空题：(每小题4分，满分20分)．

11．－． 12．-20． 13．1． 14．．①②③ 15．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (本小题满分13分)

(1)

…………………………4分

令
得

所以单调递增区间是
…………………………………………7分

(2)解:

因为
，则当
时，有最大值为3

由余弦定理知
，解得c=2………………………………………11分

则
…………………………………………………………13分

17. (本小题满分13分)

(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35.

设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，

则P(A)=0.35+0.45=0.8.

事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：

恰有1次击中9环以上，概率为p1=C
·0.81·(1-0.8)2=0.096；

恰有2次击中9环以上，概率为p2=C
·0.82·(1-0.8)1=0.384；

恰有3次击中9环以上，概率为p3=C
·0.83·(1-0.8)0=0.512．

因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率

p= p1+ p2+ p3=0.992．…………………………………………………………………………5分

(Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，

则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．

因为
表示2次射击击中9环以上的次数，所以
的可能取值是0，1，2.

因为P(
=2)=0.8·0.75=0.6；

P(
=1)=0.8·(1-0.75)+ (1-0.8)·0.75=0.35；

P(
=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．……………………………………………………… 10分

所以
的分布列是

ξ

0

1

2



P

0.05

0.35

0.6



 所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．………………………………………13分

18(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

。…………………………………………………………………………………4分

而

所以数列{
}的通项公式为
。……………………………………………6分

（Ⅱ）由
知

①

从而
②

①-②得

。

即
………………………………………………………………13分

19. (本小题满分13分)

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．

(Ⅰ)取AD1中点G，则G（1，0，1），
=（1，-2，1），又
=（-1，2，-1），由
=
，

∴
与
共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. ………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ∵
=(0,2，0)，

cos<
,
>=
，

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为
.…………………………………………………8分

(Ⅲ)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0

则
∵
=(0，2，t),
=(-2，2，0)，

∴
取
.

易知平面ABC的一个法向量
，

依题意知，<
，
>=30°或<
，
>=150°，

∴|cos<
，
>|=
，

即
，解得

∵
，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为
时，

二面角P-AC-B的大小为30°. ………………………………………………………………13分

20. (本小题满分14分)

解：（I）当
时，
，

(0)=3,所求得切线的斜率为3.

又
切点为
。

故所求的切线方程为
。…………………………………………………………………4分

（II）

①当
时，

②当
时，由
得
；

由
得
。

综上，当
，函数
在
上单调递增；

当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增。…8分

（III）证法一：由（II）可知，当
时，

在
上单调递增。

当
时，
，即
。

令
则

另一方面，
即
，
.

………………………………………………………………14分

证法二：构造函数

当
时，
，

函数
在
上单调递增。

函数
，即
。

，
，即
，

令
，则有
。

21．(本题满分14分)

（1）（本小题满分7分）

解：
，设
是所求曲线C上的任意一点，它是曲线
上点
在矩阵
变换下的对应点，则有
，即
所以
又点
在曲线
上，故
，从而
，所求曲线C的方程为
．……………………………………………………………………7分

（2）（本小题满分7分）

解：①.曲线C的极坐标方程
化为直角坐标方程为
，即
.

直线的参数方程
化为普通方程为
.………………………………4分

②.曲线C的圆心（2，0）到直线的距离为
，

所以直线与曲线C相交所成的弦的弦长为
．………………………………7分

（3）（本小题满分7分）

①∵f(x)＝|x＋1|－|x－4|＝

∴由f(x)＜2得x＜.……………………………………………………………………………4分

②.解：注意到
，且
为定值，

利用柯西不等式得到

，

从而

，当且仅当
时取“＝”号，

所以
的最小值为3．………………………………………………………………7分