2015年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数 学(理科)

命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 　金行宝

沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学　潘 戈

沈阳市回民中学　　庞红全　　　沈阳市第二十八中学　陶　慧

主审：沈阳市教育研究院 王恩宾

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设复数
满足
，则
的共轭复数

A．
B．
C．
D．

2．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于

A．M∪N　　　 B．M∩N C．

3. “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．抛物线
的焦点坐标是

A.
B.
C.
D.

5. 设
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，则

A.
B.
C.
D.

6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：
）可得这个几何体的体积是

A.

B.

C. 3
D. 4

7. 已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

8. 若执行右面的程序框图，则输出的
值是

A．4 B. 5 C. 6 D. 7

由曲线
围成的封闭图形的面积为

A．
B．
C．
D．1

10. 在△
中，
为
的三等分点，则

A.
B.
C.
D.

11. 函数
的图象按向量
平移之后得到的函数图象与函数
的图象所有交点的橫坐标之和等于

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

12. 若定义在
上的函数
满足
则不等式
(
为自然对数的底数)的解集为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 (共90分)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)

13. 若双曲线
的标准方程是
，则双曲线
的渐近线方程是 .

14. 数列
是等比数列，若

，则
.

15.若直线

经过点
，则直线
在
轴和
轴的截距之和的最小值是 .

16. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BC
AC，
A=
，AC=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值 .

三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）

17．（本小题满分12分）已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（II）当
时，求函数
的值域.

18. (本小题满分12分)如图，四棱锥
的底面是正方形，
⊥平面
，
，点E是SD上的点，且
.

（I）求证：对任意的
，都有AC⊥BE；

（II）若二面角C-BE-A的大小为
，求实数
的值.

19．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖. 甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张. 每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响. 若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.

（I）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；

（II）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和
的分布列及数学期望.

20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆

C：
，其中
，焦距为2，过点M（4，0）的直线
与椭圆C交于点A、B，点
在
之间. 又点A，B的中点横坐标为
，且
.

（1）求椭圆
的标准方程 ； （II）求实数
的值.

21.（本小题满分12分）已知函数
(
)，
为自然对数的底数.

（I）过点
的切线斜率为2，求实数
的值；

（II）当
时，求证：
；

（III）在区间
上
恒成立，求实数
的取值范围.

　　请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
为圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，
于
，
交
于
，交
于
，
．

（I）求证：C是劣弧BD的中点；（II）求证：
．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（
为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角
.

（I）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；

（II）设直线l与圆C相交于A、B两点，求
的值.

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（I）解不等式f(x)>0；

（II）若f(x)+
>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）

数学（理科）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



参考答案

B

D

B

C

D

B

A

A

B

B

D

A





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共70分.

17.解：（I）
…………2分

. …………4分

函数
的最小正周期为T=
. …………6分

因为

，
，

所以函数
的单调递增区间是
. …………8分

， …………10分

. …………12分

18.（I）证明：如图建立空间直角坐标系
，

则
，

， …………3分

∴
对任意
都成立，

即AC⊥BE恒成立. …………5分

(II)解： 设平面
的一个法向量为
，

∵
，

∴
，

取
，则
，
. …………7分

　设平面
的一个法向量为
，

∵
，

∴
，

取
，则
，
， …………9分

∵二面角C-AE-D的大小为
，

∴
，

∴
为所求. …………12分

解：（I）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。

　　∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响，

　　∴
＋
　　　　　　 ……………………6分

(II)所含“获奖”和“待定”票数之和
的值为0，1，2，3.

;
;

;
. ……8分

因此
的分布列为

X

0

1

2

3



P











…………10分

所以
的数学期望为

. ……12分

（亦可X服从二项分布B（n,p）同样给分）（12分）

20.解：（I）由条件可知，
， …………2分

故
，

椭圆的标准方程是
. …………4分

(II)由
，可知
三点共线，设
.

若直线
轴，则
，不合题意. …………5分

当AB所在直线
的斜率
存在时，设直线
的方程为
.

由
消去
得
. ①

由①的判别式
，解得
.

， …………7分

由
，可得
，如图
. …………9分

将
代入方程①，得
，
.

又因为
,

，
，

所以
. …………12分

21.解答：（I）
，
，
. …………2分

(Ⅱ)令
. ………4分

令
，即
，解得
，

所以
在(0，1)上递减，在
上递增.

所以