衡水中学2015届高三第四次联考

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部分, 总分1 5 0分, 考试时间1 2 0分钟。

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）

一、 选择题（ 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ）

1．设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合
, 则 M∪N= （ ）

A．{ x | x
-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x
-2}

2．若x∈（ e－1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 （ ）

A．a

3．抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是 （ ）

A．y=-1 B．y=-1

C．x=-1 D．x=-1

4．右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积

为8
的矩形, 则该几何体的表面积是 （ ）

A．2 0+8
B．2 4+8

C．8 D．16

5．若函数
同时具有以下两个性质: ①
是偶函数; ②对任意实数x, 都有
。则
的解析式可以是 （ ）

A．
=cos x B．
=

C．
=
D．
=cos 6 x

6．已知命题p︰?x0∈R, e x－m x=0, q︰?x∈R, x 2+m x+1≥0, 若p∨（
q） 为假命题,则实数 m 的取值范围是 （ ）

A．（-∞, 0） ∪（ 2, +∞） B．[ 0, 2]

C．R D．?

7．若实数x、 y满足不等式组
则z=| x |+2 y的最大值是 （ ）

A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4

8．已知数列{an} 满足a1=1, 且
, 且n∈N*） , 则数列{ an} 的通项公式为 （ ）

A．
B．

C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n

9．已知F1、 F2 为双曲线 C︰x2-y2=1的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则c o s ∠F1P F2= （ ）

A．
B．
C．
D．

10．（x2+2）
展开式中x2 项的系数2 5 0, 则实数 m 的值为 （ ）

A．±5 B．5 C．
D．

11．与向量
的夹角相等, 且模为1的向量是 （ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

12．在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 （ ）

A．－
B．－
C．－
D．－

第Ⅱ卷（非选择题,共9 0分）

二、 填空题（ 本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。 ）

13．已知底面边长为
, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积为 。

14．某宾馆安排A、 B、 C、 D、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A、 B 不能住同一房间, 则共有 种不同的安排方法（ 用数字作答） 。

15．若在区间[ 0, 1] 上存在实数x使2x（3 x+a）<1成立, 则a的取值范围是 。

16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, △P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1·e2 的取值范围为 。

三、 解答题（ 本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明、 证明或演算步骤。 ）

17．（ 1 2分） 在△A B C 中, 角A、 B、 C 所对的边分别为a、 b、 c, 函数
在
处取得最大值。

（1） 当x∈（ 0,
） 时, 求函数
的值域;

（2） 若a=7且
, 求△A B C 的面积。

18．（1 2分） 若{ an} 是各项均不为零的等差数列, 公差为d, Sn 为其前n 项和, 且满足
。数列{ bn} 满足
为数列{ bn} 的前n项和。

（Ⅰ） 求an 和Tn;

（Ⅱ） 是否存在正整数 m、 n（ 1

m、 n的值; 若不存在, 请说明理由。

19．（1 2分） 三棱锥P-A B C 中, 底面A B C 为边长为2
的正三角形, 平

面P B C⊥平面A B C, P B=P C=2, D 为A P 上一点, AD=2 D P, O 为

底面三角形中心。

（Ⅰ） 求证: B D⊥A C;

（Ⅱ） 设 M 为P C 中点, 求二面角 M-B D-O 的余弦值。

20．（ 1 2分） 已知点A（ -4, 4） 、 B（ 4, 4） , 直线AM 与BM 相交于点M, 且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C。

（ Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程;

（ Ⅱ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切点分别为 D、 E, 求△Q D E 的面

积S的最小值。

2 1．（1 2分） 已知函数
, 且
恒成立。

（Ⅰ） 求x为何值时,
在[ 3, 7] 上取得最大值;

（Ⅱ） 设F（x） =a l n（x-1）－
, 若
是单调递增函数, 求a的取值范围。

请考生在第2 2~2 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。

22．（1 0分） 【选修4-1︰几何证明选讲】

如右图, A B 是☉O 的直径, A C 是弦, ∠B A C 的平分线AD 交☉O 于点D, D E⊥A C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F。

（Ⅰ） 求证: D E 是☉O 的切线;

（Ⅱ） 若
, 求
的值。

23．（1 0分） 【 选修4-4︰坐标系与参数方程】

已知在平面直角坐标系x O y中, 直线
的参数方程是
（t是参数） , 以原

点O 为极点, O x为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为
。

（1） 求圆心C 的直角坐标;

（2） 由直线
上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值。

24．（1 0分） 【 选修4-5︰不等式选讲】

已知
=| 2 x-1 |+a x-5（ a是常数, a∈R） 。

（Ⅰ） 当a=1时求不等式

0的解集;

（Ⅱ） 如果函数y=
恰有两个不同的零点, 求a的取值范围。