2014—2015学年度上学期期末考试高三年级

数学科（理科）试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 已知复数z=1+i,则= ( )

（A） -2i （B） 2i （C） -2 （D） 2

3. 如图，若
，
，输入x＝0.25，则输出h(x)＝ (　　)

（A）0.25

（B）2log32

（C）－log23

（D）－2

4. 下列选项中，说法正确的是 （ ）

（A）命题“
”的否定是“
”

（B）命题“
为真”是命题“
为真”的充分不必要条件

（C）命题“若
，则
”是假命题

（D）命题“在△ABC中，若
，则
”的逆否命题为真命题

5. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s＝t2米，那么，此人 （ ）

（A）可在7秒内追上汽车 （B）可在9秒内追上汽车

（C）不能追上汽车，但其间最近距离为14米

（D）不能追上汽车，但其间最近距离为7米

6. 在△ABC中，
，则三角形ABC的形状一定是 (　　)

（A）等边三角形 （B）等腰三角形

（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形

7. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把
的图象上所有点 （ ）

（A） 向右平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C） 向左平移
个单位长度 （D）向左平移
个单位长度

8. 抛物线x2＝y在第一象限内图象上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记

为ai＋1，其中
，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于 （　 )

（A）64 （B）42 （C）32 （D）21

9. 已知F1、F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（设点M,N均在第一象限），当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 设k是一个正整数，
的展开式中第四项的系数为
，记函数y=x2与y=kx的图像所围成的阴影部分为S，任取x
[0,4]，y
[0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=
。设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为 （ ）

（A） 1 （B）
（C）
（D）

12. 已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有
，则f(x)+f(-x) 的最小值等于 （ ）

（A） 2 （B）4 （C）8 （D）12

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题:本大题共4个小题,每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.

13. 在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者。三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种(用数字作答)．

14. 设实数x,y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10，则
的最小值为 。

15. 把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD的正视图和俯视图如右图所示，则侧视图的面积为 。

16.定义域为R的函数
，若关于x的方程h(x)=[f(x)]2+bf(x)+
b2-
，有五个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5。设x1

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最大值，并写出
取最大值时
的取值集合；

（Ⅱ）已知
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若
b+c=2。求实数a的取值范围。

18. （本小题满分12分）

在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格。

用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较。

求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；

从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望。

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1
平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A1B1,

（1）证明：BB1
AC；

（2）若AB=2，且二面角A1-AB-C大小为60
，连接AC,BD，设交点为O，连接B1O。求三棱锥B1-ABO外接球的体积。

（球体体积公式：
,R是球半径）

20. （本小题满分12分）

设抛物线C1:y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率为
的椭圆记作C2

求椭圆的标准方程；

直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点。当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|长。

若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆
,是否存在定圆
,使得
与
恒相切？若存在，求出
的方程，若不存在，请说明理由。

21. （本小题满分12分）

已知函数
(a是实数)，
+1。

若函数f(x)在[1，+
）上是单调函数，求a的取值范围；

是否存在正实数a满足：对于任意
，总存在
，使得f(x1)=g(x2)成立，若存在求出a的范围，若不存在，说明理由。

若数列
满足
，求证：
。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是⊙
的直径，
是⊙
的弦，
的平分线
交⊙
于
，过点
作
交
的延长线于点
，
交
于点
.若
，求
的值。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线

，过点
的直线
的参数方程为
（t为参数）。直线
与曲线
分别交于
.若
成等比数列,求实数
的值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若关于
的不等式
的解集是
，求
的取值范围．

2014—2015学年度上学期期末考试高三年级

数学科（理科）参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

C

D

C

A

B

A

C

A

B





二．填空题

13. 10 14.
15.
16. 35

三．解答题

17、本小题满分12分

解（Ⅰ）

.

∴函数
的最大值为
.

当且仅当
即
，即
时取到。

所以函数最大值为2时
的取值集合为
. ……（6分）

（Ⅱ）由题意，
，化简得

，
， ∴
， ∴

在
中，根据余弦定理，得
.

由
，知
，即
.∴当
时，取等号。

又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2 ）。………………（12分）

18、本小题满分12分

解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差

所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。……（4分）

（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）

（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A;

事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B

则
……………………（8分）

（3）X的取值为0,1,2,3，

分布列为

X

0

1

2

3



P











 期望
……………………（12分）

19、本小题满分12分

证明：（1）底面平行四边形ABCD中，连接AC,BD，设

因为AB=AD,
，所以AC
BD

又DD1
平面ABCD，所以DD1
AC，所以AC
平面BDD1，

又因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点，

所以
平面BDD1，所以AC
BB1。即BB1
AC 。…………（4分）

（2）因为四边形ABCD为平行四边形， 所以

由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1//DO，且D1B1=DO，

所以边四形D1B1OD为平行四边形， 所以DD1//B1O 。

因为DD1
平面ABCD，所以B1O
平面ABCD，即B1O
AO, B1O
BO

由（1）知AC
BD于点O,即AO
BO

以DB,AC,OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则

A(0，-
,0)，B（1，0,0），D(-1，0，0)，设B1（0,0，h），则D1（-1，0，h）；设A1(a,b,h) (h>0)

则
=(1，-
,0)，
=（a+1,b,0）， 因为
=

，

所以a=-
,b=
. 即A1(-
，
，h) 。

所以
，

设平面A1AB的一个法向量为
，

则
，即

取y=
,则x=-3,z=

即
，又已知平面ABC的一个法向量

由二面角A1-AB-C大小为60
，可得

解得：h=
即棱台的高为

因为B1O
AO, B1O
BO，AO
BO

所以三棱锥B1-ABO外接球的直径就是以OA,OB,OB1为三条棱的长方体的体对角线,长为
，所以外接球半径R=

所以外接球体积为
.………（12分）

20、本小题满分12分

解：（1）椭圆方程
……………………（2分）

（2）当直线L与x轴垂直时，B1(1，
),B2(1，-
),又F1(-1,0),

此时
，所以以B1B2为直径的圆不经