福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学文试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知向量
，
，则
与
( )

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

2．设集合
，
则集合
( )

A．(—2，4) B．(—1，2) C．
D．

3. 已知函数
若直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

4.已知数列{
}的前n项和为
，且,
则
等于 （ ）

A． 4 B．2 C．1 D．

5.在△ABC中,
分别是
的对边,若
,则△
是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形

6．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（　　）

　 A． “l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

　 B． “l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件

　 C． “m∥α”是“l∥m”的充要条件

　 D． “l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件

7. 各项都是正数的等比数列
的公比
，且
成等差

数列，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．
或

8.如图为函数y＝sin(2x＋)的图象，则的值可以为（ ）

A.
或
B.
C.
D.

9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( B )

A.①② B. ①④ C .②③ D.③④

第9题图 第10题图

10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

11、已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为,则
( ) A．
B．2 C．
D．

12．已知
是奇函数，且满足
，当
时，
，当
时，
的最大值为
，则
( )

A．
B．
C．
D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13．如果
（
，表示虚数单位），那么

14.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．

15.数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，则数列{an}的通项公式为________．

16．
中，
，点
为边
的中点，
，则
的最大值为________

三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程

17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，点O是对角线
与
的交点,
是
的中点.

（1）求证：
平面
; （2）平面
平面

18. （本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，
.
的前n项和为
.

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）若
,
（
），求数列
的前项和
.

19. （本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）

已知长方体
，其中
，过
三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为
.

（1）求几何体
的表面积；

（2）在线段
上是否存在点，使直线
与
垂直，

如果存在，求线段
的长，如果不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足
(其中
,为正常数). 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
万元/万件.

⑴ 将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;

⑵促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

22. （本小题满分14分）

已知函数
（其中常数
），
(是圆周率) .

（I）当
时，若函数
是奇函数，求
的极值点；

（II）当
时，求函数
的单调递增区间；

（III）当
时，求函数
在
上的最小值
，并探索：是否存在满足条件的实数，使得对任意的
，
恒成立。

莆田一中2014-2015学年度学上学期期中考试试卷

参考答案

一、ACDDC CCBBC AD

二、1,9，an＝,

三、17.解:（1）在
中，
、
分别是
、

的中点,

是
的中位线，
，

面
，
面

面
……6分

（2）底面
是菱形，
，

面
，
面
，

面
，
面
，
，

面

面
，

面
面
……12分

18.

19.解：（I）

……3分

，函数
的周期
，由题意知
，即
，

又
，
．故的取值范围是
……5分

（Ⅱ）由（I）知的最大值为1，
．
，

．而
，
，
．　……9分　

由余弦定理可知：
，
，又

联立解得：

　……12分

20．解：（1）

.------------------------------------------------------3分

，设
的中点H，

所以
---------------------------5分

表面积
----------------------6分

（2）在平面
中作
交
于
，过
作
交
于点
，则
.----------------------------------------7分

因为
，而
，

又
，
且
.…………………9分

∽
.

为直角梯形，且高
.……12分

21.解:(1)由题意知,该产品售价为
万元,

,

代入化简得
,(
)

(2)

当且仅当
时,上式取等号

当
时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;

当
时,
,故
在
上单调递增,所以在x=a时,函数有最大值.促销费用投入a万元时,厂家的利润最大

综上述,当
时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;

当
时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大

22.解：（Ⅰ）函数
是奇函数，对
，
成立，

得
(利用奇函数,得
也给1分)…1分

得

从
得
经检验
是函数
的极值点.

（II）因为
，由
得
，

当a＞0时，方程
的判别式△=
，其两根为
，则单调递增区间为

当a＜0时，单调递增区间为
和
；

（III）因为
，当
时，令
得
，当x变化时，
与g(x)的变化情况如下表：

所以函数g(x)在[0，a]上的最小值为g(0)与g(a)的较小者，因为g(0)=0，
，所以h(a)=g(a)=
,因为函数
是奇函数，且
，所以

x＞0时，
，当x=1时取得最大值
，x=0时，f(0)=0，

x＜0时，
，所以函数f(x)的最小值为
，要使对任意x∈R，f(x) ＞h(a)恒成立，则h(a) ＜
，所以
，即不等式
在
上有解，因为a=π符合上述不等式，所以存在满足条件的实数，使得对任意的
，
恒成立.

莆田一中2014-2015学年度上学期期中考试

高三 数学（文科） 第一轮复习

一、选择题（每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12





























二、填空题（每小题4分，共16分）

13、 14、

15、 16、

三、解答题（74分）

座位号