福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学理试卷

命题人： 审核人：高三备课组

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设集合A={x|-2

A.{x|1

2.若z=1-i(i为虚数单位),则z(z-1)等于 ( )

A.-1-i B.-1+i C.2i D.-2i

3.下列函数f(x)中,满足“对定义域内的任意一个x都有f(-x)+f(x)=0,且在区间(0,+∞)上恒有

f '(x)>0”的是 ( )

A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=x3 D.f(x)=ex

4.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )

A在区间(,1),(1,e)内均有零点；

B在区间(,1),(1,e)内均无零点；

C在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点；

D在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点.

5.给出下列结论,其中错误的是 ( )

A.若命题p：(x0(R, x02+x0+1<0,则?p：(x(R, x2+x+1≥0；

B. (x∈R,2x>x2；

C.“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题；

D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件.

6.若函数f(x)与函数g(x)=2x互为反函数,且f(a)+f(b)=4,则+的最小值为 ( )

A.1 B. C. D.

7.给出如下性质：①最小正周期为(；②图象关于直线x=对称；③在(-,)上是增函数.则同时具有上述性质的一个函数是 ( )

A.y=sin(+) B.y=cos(-) C. y=sin(2x-) D.y=cos(2x+)

8.已知x,y满足,且x2+y2的最小值为8,则正实数a的取值范围是 ( )

A.(0,5] B.[2,5] C.[3,+∞) D.(0,2]

9.已知a是实数,则函数f(x)=-2的图象不可能是 ( )

A B C D

10.一次研究性课常上,老师给出了函数f(x)=(x(R),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

①函数f(x)的值域为(-1,1)；

②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)

③若规定f1(x)= f(x), fn(x)=f(fn-1(x)),则fn(x)=对任意的n(N*恒成立.

你认为上述三个命题中正确的个数是 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)

11.曲线y=x3-x+3在点(1,1)处的切线方程为 .

12.计算定积分=

13.已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 .

14.设ΔABC的三边长分别为a,b,c,ΔABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1, S2, S3, S4,内切球半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r=

15.已知数列{an}的通项公式为an=sin+ncos,其前n项的和为Sn,则S3n= .

三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)

16.(本小题满分13分)

已知在等差数列{an}中,a1=2,a4=11,在等比数列{bn}中,b1=,b4=a11,

(Ⅰ)求等比数列{bn}的通项公式bn；

(Ⅱ)求证数列{bn+1}不可能是等比数列.

17.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=(其中|(|<)在区间(0,]上的图象如下图所示,则：

(Ⅰ)求f(x)的在区间(0,]上的解析式；

(Ⅱ)若f(x)=m恒有实数解,求实数m的取值范围.

18.(本小题满分13分)

已知向量=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),函数f(x)=·

(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x的值；

(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C所对边,若f()=2,a=2,求△ABC面积的最大值.

19.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=x3-ax2-2ax,其中a(R.

(Ⅰ)若x=1是函数f(x)的极值点,求a的值；

(Ⅱ)若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,求a的取值范围；

20.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ln(x+)-ax,其中a(R且a≠0

(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若直线y=ax的图像恒在函数f(x)图像的上方,求的取值范围;

(Ⅲ)若存在-0,使得f(x1)=f(x2)=0,求证：x1+x2>0.

21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.

(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

二阶矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与点(0,-2),

(Ⅰ)求矩阵M；

(Ⅱ)设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-2y=4,求直线l的方程.

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为(t为参数)和圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+).

(Ⅰ)将直线l的参数方程化为普通方程,圆
的极坐标方程为直角坐标方程；

(Ⅱ)判断直线l和圆C的位置关系.

(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}

(Ⅰ)求实数a,b的值；

(Ⅱ)若0

莆田一中2014-2015学年度上学期第一学段考试卷答案2014-11

高三数学理科

一、选择题（共50分）

BACD BBCD CD

二、填空题（共20分）

11.2x-y+1=0 12. 13.- 14. 15.

三、解答题：(共80分)

16.(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则

∵a1=2,a4=11,

∴d==3,

∴an= a1+(n-1)d=3n-1,

∴b1==4,b4=32

∴q3=8即q=2

∴bn= b1qn-1=4×2n-1=2n+1 6分

(Ⅱ)若{bn+1}是等比数列,则b1+1, b2+1, b3+1是等比数列,

由(Ⅰ)可得b1=4, b2=8, b3=16,

显然{bn+1}的前3项依次为5, 9, 17,

由于5×17=85, 92=81

∴b1+1, b2+1, b3+1不是等比数列,

∴数列{bn+1}不可能是等比数列. 13分

证法二：假设{bn+1}是等比数列,则：

(bn+1+1)(bn-1+1)=(bn+1)2(n(N*)

∴bn+1bn-1+bn+1+bn-1+1= bn2+2bn+1

∴bn+1+bn-1=2bn

∴q2-2q+1=0解得q=1,

这与已知矛盾,即假设不成立,

∴数列{bn+1}不可能是等比数列. 13分

17.解：(Ⅰ)由图象可知A=2,T=4(-)=4(,

∴(==,

∴f(x)=2sin(x+(), x((0,],

又图象过点(,2)即sin(+()=1,

∵|(|<,∴(=,

∴f(x)=2sin(x+), x((0,], 6分

法二：上同

由图象知：(,2)是五点法作图中的第二点,

∴×+(=即(=,

∴f(x)=2sin(x+), x((0,], 6分

(Ⅱ)方程f(x)=m恒有实数解(m({f(x)|x([-4,]},

①当x((0,]时,由图象可知f(x)([0,2],

②当x([-4,0]时,f(x)=x2+4x+1=(x+2)2-3,

∴f(x)min=f(-2)=-3, f(x)max=f(-4)=f(0)=1,

∴此时f(x)([-3,1],

综上所述,函数f(x)的值域为[-3,2],

∴f(x)=m恒有实数解时,实数m的取值范围为[-3,2]. 13分

解法二：方程f(x)=m恒有实数解(m({f(x)|x([-4,]},

在同一坐标系中作出函数f(x)在x([-4,0]上的图象如下,

由图象可知函数f(x)的值域为[-3,2],

∴f(x)=m恒有实数解时,实数m的取值范围为[-3,2]. 13分

18.(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)∵=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),

∴f(x)=·=1+sin2x+sin2x-cos2x, 2分

=1+sin2x-cos2x,

=1+sin(2x-), 4分

∴当2x-=2k(+即x=+k(,k(Z时,函数取得最大值1+.

6分

(Ⅱ)由(I)知f()=2时,sin(A-)=, 7分

∴A-=2k(+或A-=2k(+,

即A=+2k(或A=(+2k(,k(Z, 9分

∵A是三角形的一个内角,

∴A=,即△ABC是直角三角形.

∵a=2,∴b2+c2=4,

∴S△ABC=bc≤=1(当且仅当b=c=时,取得最大值),

∴△ABC面积的最大值为1. 13分

19.(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)由f(x)=x3-ax2-2ax,得f '(x)=2x2-2ax-2a, 2分

∵x=1是函数f(x)的极值点,

∴f '(1)= 2-2a-2a=0,解得a=, 4分

经检验x=1为函数f(x)的极值点,(不检验1分扣去)

所以a=. 5分

(Ⅱ)∵f(x)在区间
上单调递增,

∴f '(x)=2x2-2ax-2a≥0在区间(2,+∞)上恒成立,

∴a≤对区间x((2,+∞)恒成立, 8分

令g(x)=,则g'(x)==

∴当x((2,+∞)时,g'(x)>0,有g(x)=>g(2)=, 12分

∴的取值范围为(-∞, ] 13分

法二：上同,

∴a≤对区间x((2,+∞)恒成立, 8分

令t=x+1, x((2,+∞), 则x=t-1,t>3

∴==t+-2 ,t>3

∵g(t) =t+-2, 在t((3,+∞)上是单调递增函数

∴g(t)>g(3)=  12分

∴的取值范围为(-∞, ] 13分

法三：∵f(x)在区间
上单调递增,

∴f '(x)=2x2-2ax-2a≥0在区间(2,+∞)上恒成立, 8分

记Δ=(2a)2-8(-2a)=4a2+16a,则

Δ≤0或,

即-4≤a≤0或,

解得a≤ 12分

∴的取值范围为(-∞,] 13分

20.(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(-,+∞).

其导数f '(x)=-a=- 1分

①当a<0时, f '(x)>0,函数在(-,+∞)上是增函数; 2分

②当a>0时,在区间(-,0)上, f '(x)>0;在区间(0,+∞)上, f '(x)<0.

所以f(x)在(-,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分

(Ⅱ)当a<0时,取x=e-,则f(e-)=1-a(e-)=2-ae>ae-1=a(e-),不合题意.

当a>0时, 令h(x)=ax-f(x),则h(x)=2ax-ln(x+) 6分

问题化为求h(x)>0恒成立时a的取值范围.

由于h'(x)=2a-= 7分

∴在区间(-,-)上, h'(x)<0;在区间(-,+∞)上, h'(x)>0.

∴h(x)的最小值为h(-),

所以只需h(-)>0,即2a·(-)-ln (-+)>0

∴ln<-1即a> 9分

(Ⅲ)由于当a<0时函数在(-,+∞)上是增函数,不满足题意,

所以a>0

构造函数g(x)=f(-x)-f(x)( -

∴g(x)=ln(-x)-ln(x+)+2ax 11分

则g(x)= -=<0

所以函数g(x)在区间(-,0)上为减函数.

∵-g(0)=0,

于是f(-x1)-f(x1)>0-f(x),又f(x1)=0, f(-x1)>0=f(x2),

由f(x)在(0+∞)上为减函数可知x2>-x1.即x1+x2>0 14分

21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.

(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

解：(Ⅰ)设矩阵M=,则：

=，=，

即，解得

∴M=， 3分

(Ⅱ)设(x,y)经M的变换作用后变为(x',y')则：



又x'-2y'=4

∴(x+2y)-2(3x+4y)=4即l：5x+6y+4=0 7分

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)直线l的普通方程为y=2x+1, 2分

ρ=2sin(θ+)可化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ

∴x2+y2=2y+2x

即圆C直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2 4分

(Ⅱ)圆心(1,1)到直线2x-y+1=0的距离为

d==<,

∴直线与圆相交 7分

(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

解：(Ⅰ)依题意可得即 2分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=+

∵00,>0,

∴+=(+)[x+(1-x)]≥(×+×)2=9

当且仅当=即x=时,等号成立。

∴f(x)的最小值为9. 7分