一. 选择题（本题10小题，每小题5分，共50分.）

1.下列函数中定义域为
的是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数的取值可以是（ ）

A．
B．
C． 1 D．

3.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
”的否命题为：“若
”

B．“x=-1”是“
”的必要不充分条件

C．命题“
”的否定是：“
”

D.命题“若
，则
”的否命题是“若
”

4．设不同的直线
，不同的平面
，
.则下列命题不成立的是（ ）

A．若
，则
B．“若
，则
”的逆命题 C．若
，
则
D．“若
，则
∥α”的逆否命题

5.已知向量

，其中
，
，且
，则向量
和
的夹角是 （ ）

A．
B．
C．
D．π

6.若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足
(
)，则P点的轨迹一定过△ABC的 （ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

7.已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共

有 （ ）

A．3对 B．4对 C．5对 C．6对

8. 已知函数
是偶函数，且函数
在[0,2]上是单调减函数，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
是坐标原点，点
，若
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是（ ）

A .
B .
C.
D.

10．设函数
是定义在上的奇函数，且
，当
时,有
恒成立，则不等式
的解集是（ ）

A.
B.
C.
D.

二.填空题（本题5小题，每小题4分，共20分.）

11. 已知向量

，若
，
共线，则实数的值为 .

12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

13．已知x>0，y>0，且
=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围 .

14.在平面直角坐标系
中，若曲线
（
为常数）在点
处的切线与直线
平行，则
.

15．有以下五个命题：①
的最小值是6；②已知
，则

f（4）＜f（3）；③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；

④函数
在定义域上单调递减；⑤ f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，

x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2-x．其中真命题是： 　.

三.解答题（本题6小题，共80分.）

16.（本题13分）设：实数满足
，其中
，：实数满足
是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

17.（本题13分）已知向量
,

,且
是方程
的两个实根.

(1)求实数的取值范围；

(2)设
,求
的最小值.

18.（本题13分) 如图，在四棱锥
中，
丄平面
，
丄
，
丄
，

∠BCA=450，
，
.

(Ⅰ) 证明
丄
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱
上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为
，

求AE的长.

19.（本题13分）?有两个投资项目
，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）

（Ⅰ）分别将
两个投资项目的利润表示为投资（万元）的函数关系式；

（Ⅱ）现将
万元投资
项目,
万元投资
项目.
表示投资A项目所得利润与投资
项目所得利润之和.求
的最大值,并指出为何值时,
取得最大值.

20.（本题14分） 已知函数
，
（a为实数）．

（Ⅰ）a=5时，求函数
在
处的切线方程；

（Ⅱ）
在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

（Ⅲ）存在两不等实根，使方程
成立，求实数a的取值范围．

21. （本题14分） （1）（本小题7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在极坐标系中，已知直线L的极坐标方程为
，圆C的圆心是
，半径为
.

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）求直线L被圆C所截得的弦长.

（2）（本小题7分) 选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）已知关于x的不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

高三数学半期考试题答案

(2) )由题意知
---------6分

=
,
-------8分

故
，令
解得


，------10分

而
.------12分
的最小值为15.------13分

18. 解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B
，P（0,0,2），

（Ⅰ）易得

于是
，所以PC⊥AD. ……4分

（Ⅱ）

设平面PCD的一个法向量

则
不妨令
，可得

，可取平面PAC的一个法向量

，于是
从而
所以二面角A-PC-D的正弦值为
.……8分

（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中
，由此得
由
故
，所以
，解得
，即
.……13分 19.解：（1）设投资为万元，A项目的利润为
万元，B项目的利润为
万元。

由题设
由图知
又

从而
---6分（2）

令

--10分

当
--12分

答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为
万元.---- 13分

20.解(Ⅰ)当
时
,
.……1分
，故切线的斜率为
. ……2分 所以切线方程为
,即
. ………4分

(Ⅱ)
, 令
0得
单调递增区间
，令
0得
单调递减区间
… 6分①当
时,在区间
上
为增函数,
………7分

②当
时,在区间
上
为减函数,在区间
上
为增函数,所以
…8分(Ⅲ) 由
，可得：
，… 9分

, 令
,
.





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增



……12分