福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查

理科数学试卷

（满分：150分;完卷时间：120分钟）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

如图，复平面上的点
到原点的距离都相等．若复数
所对应的点为
，则复数
的共轭复数所对应的点为（　　）．A．
B．
C．
D．

已知
，则
的值是（　　）．A．2 B．
C．
D．

已知


，则“
”是“
”的（　　）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序

框图执行（其中
为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．

若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（　　）．A．8 B．15C．29 D．36

如图，若在矩形
中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（　　）．A．
B．
C．
D．

已知函数
的值域为
，则函数
的定义域为（　　）．A．
B．
C．
D．

已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为
．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

101 111 010 101 010 100 100 011 111 110

000 011 010 001 111　 011 100 000 101 101

据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（　　）．

A．
B．
C．
D．

的三个内角
所对的边分别为
. 若
，则角
的大小为（　　）．A．
B．
C．
D．

若双曲线
（
）的右焦点
到其渐近线的距离为
，则双曲线
的离心率为（　　）．A．
B．
C．2 D．4

定义运算“
”为：
.若函数
，则该函数的图象大致是（　　）．
　
　
　
　　　A B C D

已知
的三个顶点
的坐标分别为
，
为坐标原点，动点
满足
，则
的最小值是（　　）．A．
B．
C．
D．

已知直线
与曲线

没有公共点．若平行于
的直线与曲线
有且只有一个公共点，则符合条件的直线
（　　）．A．不存在 B．恰有一条 C．恰有两条 D．有无数条

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

若变量
满足约束条件
，则
的最小值为　★★★　．

已知
，则
中的所有偶数的和等于　★★★　 ．

已知椭圆
的左焦点为
，点
是椭圆上异于顶点的任意一点，
为坐标原点．若点
是线段
的中点，则
的周长为　★★★　．

16. 若数列
满足
（
），则称数列
为凹数列．已知等差数

列
的公差为
，
，且数列
是凹数列，则
的取值范围为　★★★　．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，
，
是方程
的两根．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记
为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求
的分布列和均值（数学期望）.

19.（本小题满分12分）

已知函数
在同一半周期内的图象过点
，其中
为坐标原点，
为函数
图象的最高点，
为函数
的图象与
轴的正半轴的交点．

（Ⅰ）试判断
的形状，并说明理由．

（Ⅱ）若将
绕原点
按逆时针方向旋转角
时，顶点
恰好同时落在曲线

上（如图所示），求实数
的值．

20.（本小题满分12分）

一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用
（
且
）个单位的药剂，药剂在血液中的含量
（克）随着时间
（小时）变化的函数关系式近似为
，其中

(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用
个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求
的最小值．

21.（本小题满分12分）

已知抛物线
的顶点为坐标原点，焦点为
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）若点
为抛物线
的准线上的任意一点，过点
作抛物线
的切线
与
，切点分别为
，求证：直线
恒过某一定点；

(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．

22.（本小题满分14分）

已知函数
，其中
是自然对数的底数．

（Ⅰ）判断函数
在
内的零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若
，求证：
．

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理科数学试卷参考答案及评分细则

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D

7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，

13．
14．32 15．
16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．

解：（Ⅰ）方程
的两根分别为1,2， 1分

依题意得
，
． 2分

所以
， 3分

所以数列
的通项公式为
． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， 5分

所以
， ①

， ②

由①－②得

， 8分

即
， 11分

所以
． 12分

18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．

解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为
、
、
，则
分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：
，
，
，
，
，
，
，
．共有8种； 2分

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：
，
，
，
，共有4种． 3分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为
． 4分

（说明：若学生先设“用
中的
依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成
,
,
，
,
,
,
,
，不扣分．）

（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为
，不接受挑战的概率也为
． 5分

所以
，
，

，
，

，
，

9分

故
的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6





















10分

所以
．

故所求的期望为
． 12分

解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为
，不接受挑战的概率也为
． 1分

（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，

则
． 4分

（Ⅱ）因为
为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，

所以
． 5分

所以
，
，

，
，

，
，

9分

故
的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6