福建省清流一中2014-2015学年高三上学期第二次阶段（期中）测试

数学理试题

满分:150分　 考试时间:120分钟

一、选择题 （本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1、已知集合
，则
(　　)

A.
B.
C.
D.

2、幂函数
的图像经过点
，则
的值为(　　)

A.1 B. 2 C.3 D. 4

3、已知
都是单位向量，则下列结论正确的是(　　)

A.
B.
C.
D.

4、已知命题：对任意
，总有
，：“
”是“
”的充分不必要条件，则

下列命题为真命题的是(　　)

A.
B.
C.
D.

5、下列函数中,在区间
上为增函数的是 (　　)

A.
B.
C.
D.

6、函数
的图像可能是下列图像中的(　　)

7、若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为(　　)

A.
B.
C.
D.

8、下列命题中，真命题是 (　　)

A. 函数
的单调递增区间为

B. 命题“
”的否定是“
”

C.
若
为共轭复数，则
为实数

D.
是函数
的图像的一条对称轴

9、已知定义在上的函数
满足以下三个条件:①对于任意的
,都有
;②对于任意的
，且
，都有

③函数
的图像关于轴对称,则下列结论中正确的是 (　　)

A.
B.

C.
D.

10、已知函数

,若函数
有三个零点,则实数
的取值范围是 (　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题 （本大题共5小题，每题4分，共20分。）

11、在复平面内，复数
对应的点的坐标为____________

12、若
,则的值是____________

13、已知向量
夹角为
,且
;则
____________

14、直角坐标平面内三点
，若
为线段
的三等分点，则

＝____________.

15、对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为
倍值函数.若
是
倍值函数，则实数
的取值范围是 .

清流一中2014-2015学年上学期高三理科

半期考试卷答题卡

满分:150分　 考试时间:120分钟

一、选择题 （本大题共10题，每小题5分，共50分。）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



























二、填空题 （本大题共5题，每小题4分，共20分。）

11、 12、 13、

14、 15、

三、解答题 （本大题共6小题，共80分。）

16、(本小题满分13分)在等差数列
中,
,且
,求数列
的首项、公差及前项和.

17、(本小题满分13分)设
的内角
所对的边分别为
，已知

（1）求
的周长与面积； （2）求

.

18、(本小题满分13分)函数
,最小正周期为

（1）求
的表达式;

（2）将函数
的图像向右平移
个单位,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图像,若关于的方程
,在区间
上有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.

19、(本小题满分13分)已知向量

（1）求证：
；

（2）若存在不等于
的实数
和，使
满足
。试求此时
的最小值。

20、(本小题满分14分)如图所示，甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里．当甲船航行
分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里．问乙船每小时航行多少海里？

21、(本小题满分14分)设函数
，
是
的导函数．

（1）令
，猜想
的表达式；

（2）若
恒成立，求实数的取值范围；

（3）设
，比较
与
的大小，并加以证明．

清流一中2014-2015学年上学期高三理科数学

半期考试卷参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

C

B

B

D

A

C

A

C

A

D



二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上)

11、
12、2 13、
14、22 15、

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)

16、解:设该数列公差为
,前项和为
.由已知,可得

. ………………………4

所以
,

解得
,或
, ………………………7

即数列
的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. ………………………9

所以数列的前项和
或
………………13

17、解：（Ⅰ）
………2

的周长为
……………………4

……………………5

………………………7

（Ⅱ）
………………………9

故A为锐角

.

. ……………………11

. ………………13

18、(I)

…………………3

由题意知
的最小正周期
,

所以

所以
………………………6

(Ⅱ)将
的图象向右平移个
个单位后,得到
的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到
的图象.

所以
………………………8

因为
,所以
. ………………………9

在区间
上有且只有一个实数解,即函数
与
在区间
上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知
或

所以
或
. ………………………13

19、解：由诱导公式得：

………………………2

（1）

则
………………………4

（2）

即：
………………………7

……………………10

即当
时，
的最小值为
. ………………………13

20、解　如图所示，连结A1B2，

由已知A2B2＝10，

A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝10. ………………………6

由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理，

B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°

＝202＋(10)2－2×20×10×

＝200.

∴B1B2＝10. ………………………12

因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/小时)． ………13

答　乙船每小时航行30海里．………14

21、解：由题设得，g(x)＝(x≥0)． ………………………1

(1)由已知，g1(x)＝，

g2(x)＝g(g1(x))＝＝，

g3(x)＝，…，猜想gn(x)＝. ………………………4

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，

则φ′(x)＝－＝， ………………………6

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．………………8

当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，

∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，

故知ln(1＋x)≥不恒成立．

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]． ………………………10

(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，

比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于＋＋…＋

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

令x＝，n∈N＋，则

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，

②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋

那么，当n＝k＋1时， ………………………12

＋＋…＋＋

即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立． ………………………14

方法二：上述不等式等价于＋＋…＋

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0. ………………………11

令x＝，n∈N＋，则ln>.

故有ln 2－ln 1>，

ln 3－ln 2>，

……

ln(n＋1)－ln n>， ………………………13

上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，

结论得证． ………………………14

方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，

∴＋＋…＋>dx＝

dx＝n－ln(n＋1)，

结论得证． ………………………14