海州高级中学2014--2015学年度第一学期期中学情调查考试

高三数学试题

填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1. 已知集合A=｛-2，-1，3，4｝，B=｛x| x > 0｝, 则

2. 若复数
, 则的虚部为

3. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=2, b=2,那么输出的a值为

4. 从1,2,3,4这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数和为5的概率是

5. 已知函数
与
, 它们的图象有一个横坐标为
的交点, 则的值是

6. 随机抽取100名年龄在
年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在
年龄段抽取的人数为 .

7. 已知等比数列｛an｝中, a3+a5=8, a1a5=4, 则

8. 已知直线y=kx+3与圆
相交与M,N点,若|MN|≥2
,则k的取值范围是

9. 平面直角坐标系xoy中，若曲线
在点（0，1）处的切线为
，则a+m的值是

10. 不共线的四点O,A,B,C满足

11．已知函数
的值域为
, 则实数a的取值范围是

12. 在⊿ABC中，若AB=2，AC+BC=3，则cosC的最小值是

13．某公园的摩天轮观览车主架示意图如图所示，其中O为轮轴中心，距地面32m（即OM长），巨轮半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且12分钟转动一圈. 若点M为P的初始位置(O,A,M共线),经过t分钟，该吊舱P距地面的高度为h(t)，则h(t)=

14．已知
是定义在R上且周期为2的函数，当
时，
，若函数
在区间[-2，3]上有8个零点（互不相同），则实数a的取值范围是

解答题: 本大题共6小题，共计90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

已知
是第四象限角

求
的值;

求
的值.

16. (本小题满分14分)

如图, 在等腰直角⊿ABC中, ∠ABC=900,腰长为2, P为⊿ABC外一点, ∠BPC=900.

若PC=
,求PA长;

若∠APB=300, 求tan∠PBA.

17. (本小题满分14分)

如图，某山区的两个工厂A、B直线距离14km，工厂C距A、B直线距离都是25km，E为线段AB的中点,在线段CE上选建变电站D, 并从点D处铺设到工厂A,B,C的输电线DA,DB,DC.

变电站D建在何处,可使铺设的总输电线长最短?

因山区复杂条件, 希望铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小, 那么变电站D建在何处?

18. (本小题满分16分)

如图,已知椭圆E:
, 过左焦点F
且斜率为k的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为M, 直线
交椭圆E于C,D两点.

求椭圆E的方程;

求证:点M在直线
上;

若⊿BDM的面积是⊿ACM面积的3倍, 求斜率k的值.

19. (本小题满分16分)

设函数

若a=1, 求函数
的单调区间;

设函数
，若
在区间
上是减函数, 求实数a的取值范围;

过坐标原点O作曲线
的切线,证明:切点的横坐标为1.

20. (本小题满分16分)

设数列｛an｝是等差数列,首项为a1, 公差为d, 前n项和为Sn, 若数列｛an｝中任意不同两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列为“F数列”.

(1)若a1=4, d=2, 判断该数列是否为“F数列”.

(2)若a1,d
,是否存在这样的“F数列”, 使S10 ≤70? 若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,请说明理由.

(3)试问:数列｛an｝为“F数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.

 高三数学参考答案

一、填空题：

1.、｛3，4｝ 2、 24 3、 256 4、
5.、
6、 2

7、 9 8、
9.、 3 10、 2 11、 __
12、
13、h（t）=
14、 （0，1）

二、解答题

15..解 （1）由题意得

所以，
----7分

（2）由（1）得
，所以，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------14分

16．解 （1）在直角⊿BPC中，∠BPC=900，BC=2，PC=
，所以，∠BC P=300

又等腰直角⊿ABC中, ∠ABC=900 ，所以在⊿PCA中，∠PCA=750，AC=

根据余弦定理，

因

所以
--------------------------7分

（2）设∠PBA= x 则∠PBC= x-900，∠PAB=1500-x

在直角⊿BPC中，BP=2

在⊿PAB中，根据正弦定理
，即

化简得
，于是得 tan∠PBA=
-------------14分

17.解：（1）设DE=xkm，铺设的总输电线长为
km，根据题意

=24-x+2
（0≤x≤24）

，令
得

因
时
，
单调递减

时
，
单调递增， 所以当

最小

于是，变电站D建在线段CE上距点E
,可使铺设的总输电线长最短-----7分

（2）设DE=xkm，铺设的三段输电线中最远一段的长度为
km，则有

（0≤≤24）

=

因
单调递减，
，
单调递增

所以
时，
取得最小值

于是变电站D建在线段CE上距点E
处，可使铺设的三段输电线中最远一段的长度为最小.------------------------------------------------------------------------------------------------14分

18.解：

(1)椭圆方程
--------------------------4分

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)

即

所以
,

因为
,所以D点M在直线
上.----------------8分

(3)由(2)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等,

因⊿BDM的面积是⊿ACM面积的3倍,所以DM=3CM, 又|OD|=|OC|, 于是M是OC的中点----10分

设点C的坐标为(x3,y3) 则y0=

因为
,解得
,于是
,解得

所以
-----------------------------------------------------------------------16分

19．解：

(1)当a=1时,

当
时,
, 当
时,
,

所以
单调递减区间
,
单调递增区间
-----------4分

(3)
,

当a≤0时,
,
在区间
上是减函数

当a>0时,

当
时,
, 当
时,

此时函数
的单调减区间为

因
在区间
上是减函数, 所以

于是有
即0<
. 综上, 实数a的取值范围
-----------10分

(3) 证明: 设切点为M
,
切线的斜率
, 又切线过原点, 所以
,
, 即

所以

存在性: t=1满足方程

唯一性: 设
,
,
在(0,+)单调递增,且

所以
有唯一解.

综上, 切点的横坐标为1.---------------------------------------------------------------------16分

20．(本小题满分16分)

解 (1)由题意,an=2n+2, 对于任意m,n有am+an=2(m+n+1)+2, 因m+n+1
,于是令

P=m+n+1,则有ap=2p+2
,所以数列｛an｝为“F数列”.------------ 4分

(2)假设存在数列｛an｝满足条件,即10a1+45d≤70, 则a1和d的可能值

①d=0, a1=0,1,2,3,4,5,6,7, 此时an=0是“F数列”

②d=1, a1=0,1,2 此时an=n-1,an=n, an=n+1均为“F数列

所以满足条件的数列通项公式为an=0, an=n-1, an=n, an=n+1-------------- ---8分

(3)结论: 数列｛an｝为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md------10分

证明:ⅰ) 充分性 若存在整数m≥-1使a1=md,则任取等差数列的两项as, at(s≠t)

因s+t≥3, m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数,

于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+(s+t+m-2)d=am+s+t-1
-------12分

ⅱ) 必要性 任取等差数列的两项as, at(s≠t),若存在ak使得as+at=ak

则2a1+(s+t-2)d=a1+(k-1)d, 于是a1=(k-s-t+1)d,故存在m=k-s-t+1∈Z

使a1=md,下面证明m≥-1.

当d=0,显然成立

当d≠0,若m<-1, 则取p=-m≥-2,对不同的两项a1, ap,存在aq使a1+ap=aq.

即2md+(-m-1)d=md+(q-1)d, 可得qd=0,这与q>0,d≠0矛盾

故存在整数m≥-1使a1=md-----------------------------------------16分