2014～2015学年度　　　　　　　　　　　 高三第二次联考

理 科 数 学

命题人: 南海中学 钱耀周

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 复数
(其中为虚数单位)的虚部为( )

A．
B．
C． D．

2．命题“
,
”的否定是( )

A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

3. 设向量
,
,且,
方向相反,则的值是( )

A．
B．
C．
D．

4. 下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线
对称的是( )

A．
B．
C．
D．

5．已知三个正态分布密度函数

(
,
)的图象如图所示,则( )

A．
,

B．
,

C．
,

D．
,

6．已知
在上是奇函数,且满足
,当
时,
,则
(　　)

A．
B． C．
D．

7．已知双曲线的中心在原点,一个焦点为
,点在双曲线上,且线段
的中点坐标为
,则此双曲线的方程是( )

A．
B．
C．
D．

8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集
划分为两个非空的子集
与
,且满足
,
,
中的每一个元素都小于
中的每一个元素,则称
为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割
,下列选项中,不可能成立的是( )

A．
没有最大元素,
有一个最小元素 B．
没有最大元素,
也没有最小元素

C．
有一个最大元素,
有一个最小元素 D．
有一个最大元素,
没有最小元素

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分）

(一)必做题(9～13题)

9. 一支田径队有男运动员
人,女运动员
人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取
位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取________人.

10.一个几何体的三视图(单位:
)如图所示,则该几何体的体积是　_　
.

11.某程序框图如图
所示,该程序运行后,输出的值为
,则等于______.

12.若
(
),记
,则
的值为_______.

13.已知为
平面内的一个区域.:点
；:点
.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_________．

(二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系
中,已知曲线
:
(为参数)与曲线
:
(
为参数)相交于、两点,则线段
的长为　 .

15.(几何证明选讲选做题)如图,
、
为
的两条割线,

若
,
,
,
,则
.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)

设
的内角
所对边的长分别为
,且
.

(Ⅰ) 求的度数；

(Ⅱ) 若
,
,求
的面积
.

17.(本题满分12分)

某中学校本课程共开设了
共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙
名学生.

(Ⅰ) 求这
名学生选修课所有选法的总数；

(Ⅱ) 求恰有门选修课没有被这
名学生选择的概率；

(Ⅲ) 求选修课被这
名学生选择的人数
的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)

如图
,三棱柱
中,
,
,平面
平面
,

与
相交于点.

(Ⅰ) 求证:
平面
；

(Ⅱ) 求二面角
的余弦值.

19.(本题满分14分)

已知各项均为正数的数列
的前项和为
,且
(
).

(Ⅰ) 求
的值及数列
的通项公式；

(Ⅱ) 记数列
的前项和为
,求证:
(
)；

20.(本题满分14分)

已知两点
、
,动点与、两点连线的斜率
、
满足
.

(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）
是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点
、
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.

21.(本题满分14分)

已知函数
,
(其中
).

(Ⅰ) 如果函数
和
有相同的极值点,求的值,并直接写出函数
的单调区间；

(Ⅱ) 求方程
在区间
上实数解的个数.

2015届七校第二次联考理科数学参考答案与评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

C

D

A

A

C



二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

[必做题]9．
； 10．
； 11．
； 12．； 13.； [选做题]14．； 15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.【解析】(Ⅰ) 因为
,
,

所以
, ………………………………………………………………………2分

又
,所以
,所以
, ………………………………………………4分

因为
,所以
. …………………………………………………………………………6分

(Ⅱ) 在
中, 由余弦定理可得
,………………………………………8分

即
,解得
或
(舍去) ……………………………………………………10分

所以

……………………………………………………12分

17.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数
………2分

(Ⅱ) 设“恰有门选修课没有被这
名学生选择”为事件,则

,即恰有门选修课没有被这
名学生选择的概率为
.…………………5分

(Ⅲ)
的所有可能取值为
,且

,
,

,
……………………………………………… 9分

所以
的分布列为























所以
的数学期望
.…………………………………12分

或:因为选修课被每位学生选中的概率均为
,没被选中的概率均为
.

所以
的所有可能取值为
,且
,

,
,

,
…………………………………… 9分

所以
的分布列为























所以
的数学期望
.…………………………………………………………………12分

18.【解析】(Ⅰ)依题意,侧面
是菱形,是
的中点,因为
,所以
,

又平面
平面
,且
平面
,平面
平面

所以
平面
.………………………………………………………………………………5分

(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知
平面
,
面
,所以
,

又
,
,所以
平面
,

过作
,垂足为
,连结
,则
,

所以
为二面角
的平面角. …………9分

在
中,
,

所以
,
……12分

所以
,即二面角
的余弦值是
. ………………………14分

[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示, …………………………………6分

由已知可得

故
,

则
,………………8分

设平面
的一个法向量是
,

则
,即
,解得

令
,得
………………………………………11分

显然
是平面
的一个法向量, ……………12分

所以