山东师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试

数学（理）

2.下列说法正确的是

A.命题“若
”的否命题为“若
”

B.命题“
”的否定是“
”

C.命题“若
则
”的逆命题为假命题

D.若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

3.执行如右图所示的程序框图，输出的k值是

A.4 B.5 C.6 D.7

4.若
是纯虚数，则
的值为

A.
B.
C.
D.

5.某种运动繁殖量
（只）与时间
（年）的关系为
，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到

A.200只 B.300只 C.400只 D.500只

6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为

A.
B.1

C.
D.

7.已知集合
，在区间
上任取一实数
，则
的概率为

A.
B.
C.
D.

8.各项都是正数的等比数列
中，且
成等差数列，则
的值为

A.
B.
C.
D.

9.实系数一元二次方程
的一个根在
上，另一个根在
上，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为
，两条曲线在第一象限的交点为P，
是以
为底边的等腰三角形.若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

注意事项：

1.第II卷包括5道填空题，6道解答题.

2.第II卷所有题目的答案，考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上.

11.将函数
的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数
，则
的最小正周期是__________.

12.已知直线
和圆心为C的圆
相交于A，B两点，则线段AB的长度等于__________.

13.若
的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中
项的系数为_________.

14.由曲线
，直线
轴所围成的图形的面积为__________.

15.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

；

根据上述分解规律，若
的分解中最小的正整数是21，则
___________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）已知向量
，若
.

（I）求函数
的单调递增区间；

（II）已知
的三内角A、B、C的对边分别为
，且
，
（A为锐角），
，求A、
的值.

17.（本题满分12分）口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用
表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（II）随机变量
的概率分布和数学期望；

（III）计分介于17分到35分之间的概率.

18.（本题满分12分）在如图的多面体中，
平面AEB，
（I）求证:AB//平面DEG；

（II）求二面角
的余弦值.

19.（本题满分12分）

已知双曲线
的一个焦点为
，一条渐近线方程为
，其中
是以4为首项的正数数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若不等式
对一切正常整数
恒成立，求实数
的取值范围.

20.（本题满分13分）在直角坐标系
，椭圆
的左、右焦点分别为
.其中
也是抛物线
的焦点，点M为
在第一象限的交点，且
.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若过点D（4，0）的直线
交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求
BOD面积之比的取值范围.

21.（本题满分14分）已知函数
.

（I）若
时，函数
在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数
，求函数
的最小值；

（III）设函数
的图象
与函数
的图象
交于P、Q，过线段PQ的中点R作
轴的垂线分别交
于点M、N，问是否存在点R，使
在M处的切线与
在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.



（Ⅱ）∵
又
，∴
　　　…………………8分

∵
．由正弦定理得
　　　　　①　 ………………………9分

∵
，由余弦定理，得
， ②　 ………………………10分

解①②组成的方程组，得
．

综上
，
，
． ………………………12分

17．( 满分12分）

解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为
，

则
．　　　　　　　　　　　　……………………………3分

（Ⅱ）由题意
所有可能的取值为：2，3，4．

　 ……………………………7分

所以随机变量
的概率分布为

2

3

4













因此
的数学期望为
．　 ……………………………9分

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为
，则

．　…………………12分

18．( 满分12分）

（Ⅰ）证明：∵
，∴
.

又∵
，
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，∴
． 　　……………………………2分

∵
平面
，
平面
， ∴
平面
． ……………4分

（Ⅱ）解∵
平面
，
平面
，
平面
，

∴
，
，

又
，∴
两两垂直．

以点E为坐标原点，以
所在直线分别为
轴建立如图的空间直角坐标系．　　　　　…………………6分

由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），

（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2）．…………7分

由已知得
是平面
的法向量． ……8分

设平面
的法向量为
，

∵
，

∴
，即
，令
,得
． …………………10分

设二面角
的大小为
，由图知
为钝角，

∴
，

∴二面角
的余弦值为
　　　　　　　　　　 …………………12分

19．（ 满分12分）

解：（Ⅰ）∵双曲线方程为
的一个焦点为(
,0)，∴
．…1分

又∵一条渐近线方程为
，∴
，即
=2， …………………3分

20．（ 满分13分）

解：（Ⅰ）依题意知
，设
.

由抛物线定义得

，即
. 　　　　　　　………………1分

将
代人抛物线方程得
， ………………2分

进而由
及
，解得
.

故椭圆
的方程为
． ………………5分

（Ⅱ）依题意知直线
的斜率存在且不为0，设
的方程为
代人
，

整理得
………………6分

由
，解得
. ………………7分

设
,则
………………8分

令
，则
且
. ………………9分

将
代人①②得
　，消去
得
，

即
． 　　　　　　　　　　　　　　　………………10分

由
得
，所以
且
,

解得
或
. 　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分

又
，∴

故
与
面积之比的取值范围为
．　　　　　　………………13分

21．（ 满分14分）

解：（Ⅰ）依题意：

∵
上是增函数，

∴
对
恒成立，∴
………………2分

∵
当且仅当
时取等号．

∴b的取值范围为
　 ………………4分

（Ⅱ）设
，即

．…5分

∴当
上为增函数，当t=1时，

当

当
上为减函数，当t=2时，
……8分

综上所述，
　　　 ………………9分

（Ⅲ）设点P、Q的坐标是
则点M、N的横坐标为

C1在M处的切线斜率为

所以
上单调递增，故
，则
，

这与①矛盾，假设不成立，故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．……14分