马鞍山市第二中学2014—2015学年度第一学期期中素质测试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

A

B

C

D

D

C

A



二、填空题：

（11）45 , （12）
, （13）
,

（14）①④ ， （15）4个,

三、解答题：

（16）（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得：

解得

(Ⅱ)由
得

（17）（本题满分12分）

解：（I）

（
，

所以函数
的最小正周期

（II）由
得：

　　所以函数的单调递增区间是：
　

（Ⅲ）

即

，

故函数
在区间
上的值域为[-2，1]. 　

（18）（本题满分12分）

解：（I）设
在
的最大值为
，依题意有
，

，

当
时
，故
在
为增函数，
，于是
，

即实数的最小值为

（II）由
得：
在
上恰有两个相异实根，

令
，则
，

当
时，
，当
时，

故
在
上是减函数，在
上是增函数，

又
，即
，

故应有
，

，即

（19）（本题满分12分）

解：（1）设
的两根.

则
,
.

.

.

又
,
,
.

（2）由
,
. ①

由余弦定理
,

即
,

,

. ② 由①、②，得
.

（20）（本题满分13分）

解：（I）当
时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，

要耗没
（升）。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，设耗油量为
升，

依题意得

令
得

当
时，
是减函数；

当
时，
是增函数。

当
时，
取到极小值

因为
在
上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少

为11.25升。

（21）（本题满分14分）

解：(Ⅰ)证明：由已知得
,

所以
,即

所以数列
为等差数列，又
，通所以项公式为

(Ⅱ)令
，由
得：

=

所以，数列
为单调递减数列，

若不等式
对一切
都成立，只需
，

解得
，所以的取值范围为
．

(Ⅲ)问题可转化为比较
与
的大小，即比较
与
的大小.设函数
，所以
．

当
时，
；当
时，
．所以
在
上为增函数；

在
上为减函数．当
时，显然有
＜
，当
时，
，即
，

所以
，即
，所以
＞
．

综上：当
时，
＜
，即
＜
；

当
时，
>
即
＞与