山东师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试

数学（文）

2.已知
（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列有关命题说法正确的是

A.命题“若
”的否命题为“若
”

B.命题“
”的否定是“
”

C.命题“若
则
”的逆命题为假命题

D.若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

4.设
分别是
所对边的边长，则直线
与
的位置关系是

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

5.已知点P是直线
上的动点，点Q为圆
上的动点，则
的最小值为

A.
B.2 C.
D.

6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

7.将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为

A.
B.

C.
D.

8.已知约束条件
若目标函数
恰好在点
处取得最大值，则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

9.我们定义函数
（
表示不大于
的最大整数）为“下整函数”；定义
（
表示不小于
的最小整数）为“上整函数”；例如
.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为
小时，则李刚应缴费为（单位：元）

A.
B.
C.
D.

10.方程
的实根个数为

A.2 B.3

C.4 D.5

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.平面内给定三个向量
若

______；

12.已知数列
的前
项和为
，则数列

的通项公式是_________；

13.如果执行右边的框图，输入N=5，则输出的数等于_________；

14.在单位正方形内随机取一点P，则若在如图阴影部分的概率是_________；

15.已知函数
下列命题是真命题的是__________（只填命题序号）.

①函数
是偶函数；②对任意
；

③对任意
；

④对任意
；

⑤若存在
使得
都为无理数.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求
的单调递增区间；

（II）当
时，求函数
的最大值和最小值.

17. （本小题满分12分）

国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高一1班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.

（I）请求出70~80分数段的人数；

（II）现根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率.

18.（本小题满分12分）

已知四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，
，且PA=AB=BC=1，AD=2，
平面ABCD，E为AB的中点.

（I）证明：
；

（II）在线段PA上是否存在一点F，使EF//平面PCD，若存在，求
的值.

19.（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列
，满足
成等比数列.

（I）求数列
的通项公式；

（II）若
，数列
的前n项和为
，求证：
.

20.（本小题满分13分）

坐标系
中，已知椭圆
的其中一个顶点坐标为B（0，1），且点
在
上.

（I）求椭圆
的方程；

（II）若直线
与椭圆
交于M，N且
，求证：
为定值.

21.（本小题满分14分）

设函数
.

（I）当
（e为自然对数的底数）时，求
的最小值；

（II）讨论函数
零点的个数；

（III）若对任意
恒成立，求m的取值范围.

（Ⅱ）
，
，………….8分

即
，………….10分

．………….12分

（17）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25， 80～90分的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；………………………………………………1分

∴70～80分的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45，…………………………………2分

∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；∴参加测试的总人数为
人.…………………4分

∴70～80分数段的人数为
.……………………………………5分

(Ⅱ)∵参加测试的总人数为
人，

∴50～60分数段的人数为40
人.…………………………………………6分

设第一组50～60分数段的同学为
；第五组90～100分数段的同学为
，………7分

则从中选出两人的选法有：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种；……………9分

其中两人成绩差大于20的选法有：
，
，
，
，
，
，
，
共8种；………………………………………………11分

则选出的两人为“搭档组”的概率为

.………………………………………12分

（18）解：（Ⅰ）证明：平面ABCD，CD
平面ABCD。
。…………………2分

因为ABCD为直角梯形，且AB=BC=1，
，取AD的中点M，连接CM、CA，

易知四边形ABCM为矩形，所以AC=CD=
，因为AD=2，所以
为直角三角形，

。…………………………………………………………………………5分

又
。所以
平面PAC，

PC
平面PAC.
.………………………………………………6分

（Ⅱ）
上存在一点
，当
时，
//平面
。…………………7分

取AM的中点G，则GE为
的中位线，所以
，………………8分

又因为四边形ABCM为矩形，所以
，
.

因为
在PA上取一点F，使
则
。………………………………10分

所以平面EGF//平面PCD。因为EF
平面EGF。所以
//平面
。

即，当
时，
//平面
。……………………………………………………12分

（19）解：（Ⅰ）
，
.…………………………2分

成等比数列，
,

，解得
，…………………………4分

；

所以数列
的通项公式为：
.…………………………5分

(Ⅱ)
，……………………7分

所以

=

=
；…………………………11分

所以

.…………………………………………12分

（20）解：（Ⅰ） 由题意，椭圆
的右顶点坐标为
，所以
，…………………2分

点
代入椭圆
，得
，即
.…………………………4分

所以椭圆
的方程为
． ………………………………………………………5分

（Ⅱ）直线
的斜率显然存在，设直线
的方程为
，……………………6分

，消去
并整理得
，(*)………………7分

设
，

由(*)式得
……………8分

.………………………………9分

代入并整理得
………………………10分

可得

经验证满足
，………………………………12分

∴
.………………………………………………………………………………13分

（21）