理科数学

一、选择题 本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每个小题只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上

1. 设集合

若
则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
是
为纯虚数的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.执行如图所示的程序框图,当输入
时,则输出的结果是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4.已知双曲线
的离心率为
,若
,则抛物线
的焦点
到双曲线
的渐近线的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.将5件不同奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是（ ）

A. 150 B. 210 C. 240 D. 300

6.数列
对任意
满足
则
的值为（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是（ ）


A.
B.
C.
D.

8.已知定义在R上的函数
的图像如图所示,则
满足的关系是（ ）



A.
B.

C.
D.

9.若函数
的最小正周期为
，若对任意
都有
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知实数
满足
其中e是自然对数的底数,则
的最小值为（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 18

二、填空题 本大题有5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卷上

11.二项式
的展开式中各项系数和与常数项分别为
则
.

12.已知二元一次不等式组
表示的平面区域为D.若圆
上存在点
则
的取值范围为 .

13.已知
中
则
的面积
.

14．甲、乙两个公司均可独立完成某项工程.若这项工程先由甲公司施工81天,则余下部分再由乙公司施工144天可完成,已知甲公司施工每天所需费用为6万元,乙公司施工每天所需费用为3万元,现按合同规定,甲公司完成这项工程总量的
,乙公司完成这项工程总量的
,那么完成这项工程所需总费用的最小值为 万元.

15.直线
(
为实常数)与曲线
的两个交点A、B的横坐标分别为
、
，且

,曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.有下面5个结论：

①
②三角形PAB可能为等腰三角形;③若直线
与
轴的交点为
则
④若点P到直线
的距离为
则
的取值范围为
⑤当
是函数
的零点时,
(
为坐标原点)取得最小值.

其中正确结论的序号为 .

三、解答题 本大题有6个小题，共75分，请将解答过程和答案写在答题卷上

16.
是
的三个内角,且
,

（Ⅰ）求证：
;

（Ⅱ）若
是锐角三角形,求
的取值范围.

级别

指数

一

二

三

四

五

六



当日PM2.5浓度（微克/立方米）范围















空气质量

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



17. 空气质量按照空气质量指数大小分为六级，相对应空气质量的六个类别（见下表），指数越大，级别越高说明污染情况越严重，对人体的危害也越大.

为了调查某城市空气质量状况，对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图.

将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM2.5浓度相互独立.

（Ⅰ）当空气质量指数为一级或二级时，人们可正常进行户外运动，根据样本数据频率分布直方图，估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率.

（Ⅱ）当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时，出现雾霾天气的概率为
.用
表示在未来3天里该市出现雾霾天气的天数，求随机变量
的分布列、期望E
和方差D
.

18.已知在四棱锥
中,底面
是直角梯形, 平面

平面
R、S分别是棱AB、PC的中点,

（Ⅰ）求证：①平面

平面
②
平面

（Ⅱ）若点
在线段
上,且

平面
求二面角
的余弦值.



19. 已知数列
是公差为d的等差数列,
是等比数列,函数
的图象在
轴上的截距为
,其最大值为

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）若
求数列
的通项公式

（Ⅲ）设

,若
的最小值为2,求d的值.

20. 已知圆锥曲线
,过原点
的直线与曲线
交于
、
两点,其中
在第一象限,
是曲线
上不同于
的点,直线
的斜率分别为
、
且

（Ⅰ）若P点坐标为
求圆锥曲线
的标准方程;

（Ⅱ）求
的值;

（Ⅲ）若
轴于点

点坐标为

且直线
与直线
交于点
记直线
、
的斜率分别为
、
问是否存在常数
使
若存在, 求出
的值，若不存在，说明理由.

21. 已知函数

（Ⅰ）求
的单调区间;

（Ⅱ）已知正数
满足

①若
都属于区间
且
求实数
的取值范围.

②求证:

理科数学(参考答案)

一、选择题

1~5 BABDA 6~10 DADCB

二、填空题

11. 240 12.
13.
14. 900 15. ①③④⑤

三、解答题

16. 解：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）

17.解：（Ⅰ）当空气质量为一级时，对应的PM2.5浓度落在
中，其频率
，

当空气质量为二级时，对应的PM2.5浓度落在
中，其频率
，故由样本数据频率分布直方图估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率

（Ⅱ）空气质量为“重度污染”和“严重污染”即PM2.5浓度落在
的频率为

，则由题设知在未来每一天中出现雾霾天气的概率

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















显然
服从二项分布，

18.解：（Ⅰ）
①

②

（Ⅱ）

19.解： （Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

20. 解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

21. 解：（Ⅰ）

（Ⅱ）①

②