一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)

1.已知集合
,
,则

A.
B.
C.
D.

2.若复数
为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为

A.
B.
C. D.

3.函数
是

A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为
的奇函数 D.最小正周期为
的偶函数

4.等差数列
中,已知
,
,则使得
的最小正整数为

A.
B.
C.
D.

5.直线
与圆
有两个不同交点的一个充分不必要条件是

A.
B.
C.
D.

6.用数字
组成无重复数字的五位数,要求不在首位,
不在百位的五位数共有

A.
B.
C.
D.

7.定义某种运算
,
的运算原理如图所示,设
,

,则输出的
的最大值与最小值的差为

A. B.

C. D.

8.下列命题:①若直线
上有无数个点不在平面内,则
∥；

②若直线
与平面平行,则
与平面内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与

这个平面平行；

④若直线
与平面平行,则
与平面内的任意一条直线都没有公共点.

其中正确的个数是

A. B. C.
D.

9.已知抛物线
的焦点为,准线为
,点为抛物线上任意一点,且在第一象限,

,垂足为,
,则直线
的倾斜角等于

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
对定义域内的任意都有
,且当
时,其导函数

满足
,若
,则

A.
B.

C.
D.

二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11.二项式
的展开式中第四项的系数为 .

12.一个几何体的三视图如图所示,其中网格纸上的小正方形的边长

为,则该几何体的体积为 .

13.点
在不等式组
表示的平面区域内,若点

到直线
的最大距离为
,则实数
.

14.
的外接圆半径为,圆心为
,且
,则
的值为 .

15已知函数
,且
,给出下列命题:

①
；

②
；

③
；

④当
时,
.

其中所有正确命题的序号为 .

三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分)

已知
为等比数列,其中
,且
成等差数列.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
,求数列
的前项和
.

17.(本小题满分12分)

已知向量
,函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ)在
中,角
的对边分别为
,若
,
,求

的面积.

18.(本小题满分12分)

在
年
月,某市进行了“居民幸福度”的调查,某师大附中学生会组织部分同学,用“

分制”随机调查“狮子山”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取
名,如图所示的茎

叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).

(Ⅰ)若幸福度不低于
分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这
人中随机选取
人,至

多有人是“极幸福”的概率；

19.(本小题满分12分)

已知在四棱锥
中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,

、分别是线段
、
的中点.

(Ⅰ)判断并说明
上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值；若不

存在,请说明理由；

(Ⅱ)若
与平面
所成的角为
,求二面角
的平面角的余弦值.

20.(本小题满分13分)

在平面直角坐标系
中,椭圆
过点
和点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)已知点
在椭圆
上,为椭圆的左焦点,直线
的方程为
.

(ⅰ)求证:直线
与椭圆
有唯一的公共点；

(ⅱ)若点关于直线
的对称点为
,探索:当点在椭圆
上运动时,直线
是否过定点?

若过定点,求出此定点的坐标；若不过定点,请说明理由.

21.(本小题满分14分)

已知函数
,
且
.

(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线垂直于轴,求实数的值；

(Ⅱ)当
时,求函数
的最小值；

(Ⅲ)在 (Ⅰ)的条件下,若
与
的图像存在三个交点,求
的取值范围.

2015届“一诊”模拟考试(一)理科数学答案

一.选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）



题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

B

D

B

A

A

B

C



二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11.
. 12.
. 13.. 14.
. 15.③④.



三.解答题:







17.【解答】(Ⅰ)∵
,

∴
.

∵
,∴
,

∴函数
的单调递增区间为
.

(Ⅱ)∵
,∴
,∴
.

∵
,∴
.

∵
,
,∴
.

∵
,∴
的面积为
.



18.【解答】(Ⅰ)∴从这
人中随机选取
人,至多有人是“极幸福”的概率为

.

(Ⅱ)∵
的取值为
,且
,
,

,
,

∴
的分布列为























∴
的数学期望是
.



19.【解答】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,设
.

∵
,

∴
,
,
.

设平面
的一个法向量
.

∵
,∴
,∴
.

∵
,∴
.∴
.

(Ⅱ)∵
为直线
与平面
所成的角,



20.【解答】(Ⅰ)∵
,且
,∴
,

∴椭圆
的方程为
.

(Ⅱ)(ⅰ)联立方程组
,整理为
…①.

∵在椭圆
上,∴
,即
,

∴方程①为
,即
,∴直线
与椭圆
有唯一的公共点.

(ⅱ)∵
,∴过点且与
垂直的直线方程为
.

∵联立方程组
,∴
.

∵
,且
,∴
点坐标为
.

(1)当
时,直线
的斜率
.



21.【解答】(Ⅰ)∵
,

∴
.

∵
,∴
.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
.

(1)当
时,∵
,∴
在区间
上单调递减,

∴
的最小值为
.

(2)当
时,∵
,∴
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.

∴
的最小值为
.

综上所述,当
时,函数
的最小值为
；

当
时,函数
的最小值为
.

(Ⅲ)由
,设
.

∵
,

∴函数
的单调递增区间为
；

单调递减区间为
.

∵
时,函数
的图象在轴下方且无限靠近轴,

,
,
,

∴实数
的取值范围是
.



15.已知直线
.若存在实数使得一条曲线与直线
有两个不同的交点,

且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于
,则称曲线为直线
的“绝对曲线”,给出下列

四条曲线方程:

①
；

②
；

③
；

④
.

其中直线
的“绝对曲线”方程的所有序号为 .

21.(本小题满分14分)

设函数
,函数
是函数