一.选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)

1.已知集合
,
,则
( )

A.
B.
C.
D.

2.若复数
为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为( )

A.
B.
C. D.

3.函数
是( )

A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为
的奇函数 D.最小正周期为
的偶函数

4．已知直线
和平面，则下列命题正确的是( )

A.若
∥,
,则
∥ B.若
∥,
,则
∥

C.若
⊥,
,则
⊥ D.若
⊥,
⊥,则∥

5.等差数列
中,已知
,
,则使得
的最小正整数为( )

A.
B.
C.
D.

6.直线
与圆
有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )

A.
B.
C.
D.

7.定义某种运算
,
的运算原理如图所示,

设
,则
在
上的最大值为( )

A.
B.

C.
D.

8.
为坐标原点,点
的坐标为
,若点
的坐标满足

,则
的最大值为 ( )

A.
B.
C.
D.

9.已知抛物线
的焦点为,准线为
,点为抛物线上任意一点,且在第一象限,

,垂足为,
,则直线
的倾斜角等于( )

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
对定义域内的任意都有
,且当
时,其导函数

满足
,若
,则( )

A.
B.

C.
D.

二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11.设函数
,则
___________.

12.一个几何体的三视图如图所示,其中网格纸上的小正方形的边长

为,则该几何体的表面积为 .

13. 已知函数
,若函数
有三个

不同的零点,则实数的取值范围是 .

14.
的外接圆半径为,圆心为
,且
,则
的值为 .

15.已知函数
,且
,给出下列命题:

①
；

②
；

③
；

④当
时,
.

其中所有正确命题的序号为 .

三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分)

已知向量
,函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ)在
中,角
的对边分别为
,若
,
,求

的面积.

17.(本小题满分12分)

已知
为等比数列,其中
,且
成等差数列.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
,求数列
的前项和
.

18．（本小题满分12分）

某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件

数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为
.

(Ⅰ)分别求出,的值；

(Ⅱ)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方

差
和
,并由此分析两组技工的加工水平；

(Ⅲ)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若两人

加工的合格零件个数之和大于
,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.

(注:方差
，其中
为数据
的平均数).

19.(本小题满分12分)

已知在四棱锥
中,底面
是矩形,且
,
,
平面
,、

分别是线段
、
的中点.

(Ⅰ)证明:
；

20. (本小题满分13分)

在平面直角坐标系
中,椭圆
过点
和点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)已知点
在椭圆
上,为椭圆的左焦点,直线
的方程为
.

(ⅰ)求证:直线
与椭圆
有唯一的公共点；

(ⅱ)若点关于直线
的对称点为
,求证:当点在椭圆
上运动时,直线
恒过定点,

并求出此定点的坐标.

21.(本小题满分14分)

设
和
是函数
的两个极值点,其中
,
.

(Ⅰ)若曲线
在点
处的切线垂直于轴,求实数的值；

(Ⅱ)求
的取值范围；

(Ⅲ)若
,求
的最大值(是自然对数的底数).

新津中学高2015届“一诊”模拟考试(一)文科数学答案

一.选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）



题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

C

B

D

D

B

B

C



二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11.1 12.
+1). 13.(-
,0) 14.
. 15.③④.



三.解答题:







17.

【解答】(Ⅰ)∵
,∴公比
.

∵
,且
,∴数列
的通项公式为
.

(Ⅱ)∵
,∴
.

∵
,

∴

,

∴
.



18.【解答】(1)m=3,n=8

(2)甲方差
，乙方差2，乙水平高

（3）





19.【解答】(Ⅰ)证：DFAF

(Ⅱ)
.



20.【解答】(Ⅰ)∵
,且
,∴
,

∴椭圆
的方程为
.

(Ⅱ)(ⅰ)联立方程组
,整理为
…①.

∵在椭圆
上,∴
,即
,

∴方程①为
,即
,∴直线
与椭圆
有唯一的公共点.

(ⅱ)∵
,∴过点且与
垂直的直线方程为
.

∵联立方程组
,∴
.

∵
,且
,∴
点坐标为
.

(1)当
时,直线
的斜率
.



21.【解答】解：(Ⅰ)函数
的定义域为
，

．…………1分

依题意，方程
有两个不等的正根，（其中
）．故

，

并且
．

所以，

故
的取值范围是
． …………6分

(Ⅱ)解:当
时，
．若设
，则

．

于是有