北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2015.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2．设命题
：
，则
为（ ）



 （A）

（B）



 （C）

（D）





3．在锐角
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，则（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）





5．设函数
的定义域为
，则“
”是“函数
为奇函数”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天

13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7． 设抛物线
的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：
的距离为
，则有（ ）



 （A）

（B）



 （C）

（D）





8. 如图，在空间四边形
中，两条对角线
互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边
分别相交于点
，记四边形
的面积为y，设
，则（ ）

（A）函数
的值域为

（B）函数
的最大值为8

（C）函数
在
上单调递减

（D）函数
满足

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 复数
，则
______.

10．设平面向量
满足
，
，
，那么
的夹角
____.

11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.

12．设
为双曲线C：
的左、右焦点，且直线
为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果
，那么双曲线C的方程为____；离心率为_____.

13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

14. 设函数

（1）如果
，那么实数
___；

（2）如果函数
有且仅有两个零点，那么实数
的取值范围是___.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
，x∈R .

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）判断函数
在区间
上是否为增函数？并说明理由.

16．（本小题满分13分）

已知数列
满足
，且其前
项和
．

（Ⅰ）求
的值和数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
为等比数列，公比为
，且其前
项和
满足
，求
的取值范围．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，

底面
，
，
，且
，
. 点E在棱AB上，平面
与棱
相交于点F.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）写出三棱锥
体积的取值范围. （结论不要求证明）

18．（本小题满分13分）

最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：

投资股市：

投资结果

获利

不赔不赚

亏损



概 率









购买基金：

投资结果

获利

不赔不赚

亏损



概 率









（Ⅰ）当
时，求q的值；

（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C：
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点
满足条件
.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记
和
的面积分别为
，
，若
,求直线l的方程.

20．（本小题满分13分）

对于函数
，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数
和
在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.

设函数
,
.

（Ⅰ）当
,
时, 判断函数
和
是否相切？并说明理由；

（Ⅱ）已知
，
，且函数
和
相切，求切点P的坐标；

（Ⅲ）设
，点P的坐标为
，问是否存在符合条件的函数
和
，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为
呢？（结论不要求证明）

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．B 3．A 4．C

5．B 6．D 7．A 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11.
12．

13．
14．
或4

注：第12，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为

……………… 3分

， ……………… 5分

所以函数
的最小正周期
. ……………… 7分

（Ⅱ）解：结论：函数
在区间
上是增函数. ……………… 9分

理由如下：

由
，

解得
，

所以函数
的单调递增区间为
，
. ……………… 12分

当
时，知
在区间
上单调递增，

所以函数
在区间
上是增函数. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得
，
，

因为
，
，

所以
，

解得
. ……………… 3分

所以
．

当
时，由
， ……………… 5分

得
. ……………… 7分

验证知
时，
符合上式，

所以
，
. ……………… 8分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得
. ……………… 10分

因为
，

所以
，

解得
． ……………… 12分

又因为
，

所以
的取值范围是
． ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
是棱柱，

所以平面
平面
.

又因为平面
平面
，

平面
平面
，

所以
∥
. …………………3分

又

平面
，

平面
，

所以
∥平面
. …………………6分

（Ⅱ）证明：在四边形ABCD中，

因为
，
,且
，
，
，

所以
，
.

所以
，

所以
，即
. …………………7分

因为
平面
平面
，

所以
.

因为在四棱柱
中，
，

所以
. …………………9分

又因为
平面
，
，

所以
平面
. …………………11分

（Ⅲ）解：三棱锥
的体积的取值范围是
. …………………14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种

且三种投资结果相互独立，

所以
+
+
=1. ……………… 2分

又因为
，

所以
=
． ……………… 3分

（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，

得
， ……………… 4分

因为
+
+
=1，

所以
，解得
. ……………… 7分

又因为
，
，

所以