北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2015.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，
，则集合
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



2．设命题
：
平面向量
和
，
，则
为（ ）



 （A）
平面向量
和
，

（B）
平面向量
和
，



 （C）
平面向量
和
，

（D）
平面向量
和
，





3．在锐角
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，则（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）





4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）



5．设函数
，
，则“
”是“函数
为奇函数”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）

（A）最长棱的棱长为

（B）最长棱的棱长为

（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

（D）侧面四个三角形都是直角三角形



7. 已知抛物线
，点
，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点
，使得
，则实数m的取值范围是（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



8. 设D为不等式组
表示的平面区域，点
为坐标平面
内一点，若对于区域D内的任一点
，都有
成立，则
的最大值等于（ ）

（A）2

（B）1



（C）0

（D）3





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 复数
，则
_____．

10．设
为双曲线C：
的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果
，那么双曲线C的方程为____；离心率为____.



3





a















11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么
______．

12． 如图，在
中，以
为直径的半圆分别交
，
于点
，
，且
，那么
____；
_____．

13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）

14. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转
（
）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
, x∈R的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求
的值.

16．（本小题满分13分）

现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：

（1）投资股市：

投资结果

获利40%

不赔不赚

亏损20%



概 率









 （2）购买基金：

投资结果

获利20%

不赔不赚

亏损10%



概 率









 （Ⅰ）当
时，求q的值；

（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求
的取值范围；

（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知
，
，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，

底面
，
，
，且
，点E在棱AB上，平面
与棱
相交于点F.

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积的最大值.

18．（本小题满分13分）

已知函数
和
的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.

（Ⅰ）若点P的坐标为
，求
的值；

（Ⅱ）已知
，求切点P的坐标.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C：
的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点
满足条件
.

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记
和
的面积分别为
，
，求证：
.

20．（本小题满分13分）

设函数
，对于任意给定的
位自然数
（其中
是个位数字，
是十位数字，
），定义变换
：
. 并规定
．记
，
，
，
，
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）当
时，证明：对于任意的
位自然数
均有
；

（Ⅲ）如果
，写出
的所有可能取值.（只需写出结论）

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．D 3．A 4．C

5．C 6．D 7．B 8．A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．
12．

13．
14．

注：第10，12题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为

……………… 2分

=
， ……………… 4分

所以
.

故函数
的最小正周期为
. ……………… 6分

由题意，得
，

解得
，

所以函数
的单调递增区间为
. ……………… 9分

（Ⅱ）解：如图过点
作线段
垂直于
轴于点
.

由题意，得
，
，

所以
.

………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，

所以
+
+
=1. ……………… 2分

又因为
，

所以
=
． ……………… 3分

（Ⅱ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事

件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分

则
，且A，B独立.

由上表可知，
，
.

所以
……………… 5分

. ……………… 6分

因为
，

所以
. ……………… 7分

又因为
，
，

所以
.

所以
. ……………… 8分

（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），

所以随机变量
的分布列为：

4

0















 …………… 9分

则
. ……………10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），

所以随机变量
的分布列为：

Y

2

0















 …………… 11分

则
. …………… 12分

因为
，

所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
是棱柱，

所以平面
平面
.

又因为平面
平面
，平面
平面
，

所以
∥
. …………………2分

又因为

平面
，

平面
，

所以
∥平面
. …………………4分

（Ⅱ）解：因为

底面
，
，

所以
，
，
两两垂直，以A为原点，以
，
，
分别为
轴、
轴和
轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分

则
，
，
，

所以
,
.

设平面
的法向量为

由
，
,

得