北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2014.11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
,则集合
等于

A.
B.

C.
D.

2.已知命题：
，
；命题：
，
.则下列判断正确的是

A．是假命题 B．是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

3. 执行如图所示的程序框图，则输出的
的值是

A.120 B.105 C.15 D.5

4.曲线
与直线
及轴所围成的图形的面积是

A.
B.
C. D.

5.设
是两个非零的平面向量，下列说法正确的是

若
，则有
；

；

若存在实数λ，使得＝λ
，则
；

④若
，则存在实数λ，使得＝λ
.

A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④

6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为

A. 3000 B.3300 C.3500 D.4000

7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数

（其中
，
），

则估计中午12时的温度近似为（ ）

A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃

8.设函数
满足下列条件：

（1）对任意实数
都有
；

（2）
，
，
.

下列四个命题：

①
； ②
； ③
；④当
，
时，
的最大值为.

其中所有正确命题的序号是（ ）

A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.已知平面向量
满足
，
，且

，则向量的坐标是_______.

10.已知
，
，则
的值是_______;
的值是_______.

11.若
是奇函数，则
的值是_______.

12.已知等差数列
中，
为其前项和.若
，
,

则公差
_______；数列
的前______项和最大.

13.已知，满足条件
若目标函数
(其中
)仅在点
处取得最大值，则的取值范围是 .

14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔
和
.已知从塔
的底部看塔
顶部的仰角是从塔
的底部看塔
顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点
分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔
的底部看塔
顶部的仰角的正切值为 ；塔
的高为 m.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
（
）的图象经过点
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期和单调递减区间.

16. （本小题满分13分）

如图，在△
中，
为钝角，
．为
延长线上一点，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）求
的长及△
的面积．

17. （本小题满分13分）

在递减的等比数列
中，设
为其前项和，已知
，
.

(Ⅰ)求
，
；

（Ⅱ）设
，试比较
与
的大小关系，并说明理由.

18. （本小题满分14分）

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间;

（Ⅱ）若
在
上是单调函数，求的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知函数
，若在区间
内有且仅有一个
，使得
成立，则称函数
具有性质
.

(Ⅰ)若
，判断
是否具有性质
，说明理由；

（Ⅱ）若函数
具有性质
，试求实数的取值范围.

20. （本小题满分13分）

对于项数为的有穷数列
，记
，即
为
中的最大值，则称
是
的“控制数列”，
各项中不同数值的个数称为
的“控制阶数”.

(Ⅰ)若各项均为正整数的数列
的控制数列
为
，写出所有的
；

（Ⅱ）若
，
，其中
，
是
的控制数列，试用表示

的值；

(Ⅲ)在
的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和.

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷答案（理工类） 2014.11

一、选择题（满分40分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

C

C

D

B

B

B

D



二、填空题（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案


或


;




;







（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题（满分80分）

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由函数
的图象经过点
，

则
.

解得
.

因此
. ……………………….5分

（Ⅱ）

.

所以函数
的最小正周期为
.

由
，
.

可得
，
.

因此函数
的单调递减区间为[
]，
.……………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）在△
中，

因为
，
，

由正弦定理可得
，

即
，

所以
．

因为
为钝角，所以
.

所以
． ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．

在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．解得
．

因为
为钝角，所以
.所以
．

所以△
的面积
．

…………………….13分

18. （本小题满分14分）

(Ⅰ)
的定义域为
.

.

（1）当
时，

，则
，
时，
为增函数；

（2）当
时，由
得，
或
，由于此时
，

所以
时,
为增函数，
时，
为增函数；

由
得，
，考虑定义域，当
，
为减函数，

时，
为减函数；

（3）当
时，由
得，
或
，由于此时
，所以

当
时，
为增函数，
时，
为增函数.

由
得，
，考虑定义域，当
,
为减函数，

时，
为减函数.

综上，当
时，函数
的单调增区间为
,
.

当
时，函数
的单调增区间为
，
,

单调减区间为
，
.

当
时，函数
的单调增区间为
，

单调减区间为
，
.

……………………….7分

（Ⅱ）解：

当
时，由(Ⅰ) 可得，
在
单调增，且
时
.

当
时，即
时，由(Ⅰ) 可得，
在
单调增，即在
单调增，且
时
.

(3)当
时，即
时，由(Ⅰ) 可得，
在
上不具有单调性，不合题意.

(4)当
，即
时，由(Ⅰ) 可得，
在

为减函数，同时需注意
，满足这样的条件时
在
单调减，所以此时
或
.

综上所述，
或
或
.

…………………