北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2014.11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
,则集合
等于

A.
B.
C.
D.

2.要得到函数
的图象，只要将函数
的图象

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位

3.“
”是“函数
在上为单调递增函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 执行如图所示的程序框图，则输出的
值等于

A.
B.

C.
D.

5. 如图，点是线段
的中点，
，且
，则

A．
B．

C．
D．

6. 已知命题：
，
；命题：在曲线
上存在斜率为
的切线，则下列判断正确的是

A．是假命题 B．是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

7. 设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）．公司决定从原有员工中分流（
）人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了
．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中，
顶点坐标分别为
，
，
．若
是钝角三角形，则正实数的取值范围是

A.
B.

C.
或
D.
或

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.已知平面向量
，
，若
，则
．

10.已知
，
，则
_______；
_______．

11.已知函数
，且对于任意的，有
，则实数的值为 ．

12.已知，满足条件
则函数
的最大值是 ．

13. 设函数
若
，则实数的值等于 ．

14．已知函数
的图象与直线
有且只有一个交点，则实数的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知数列
是等差数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
是首项为2，公比为2的等比数列，求数列
的前项和
.

16. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在
上的最大值与最小值.

17. （本小题满分14分）

如图，在△
中，
为钝角，
．为
延长线上一点，且
．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）求
的长．

18. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
，试求函数
（
）的最小值；

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
成立，试求的取值范围.

19. （本小题满分14分）

已知数列
与
满足
，
.

（Ⅰ）若

，求
，
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）若
，求数列
的通项公式．

20. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若
，对于任意的
，求证：
；

（Ⅱ）若函数
在其定义域内不是单调函数，求实数的取值范围.

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学答案（文史类） 2014.11

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

A

B

C

C

B

D



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案









 4


或





（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
整理得

解得

所以
.…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为数列
是首项为2，公比为2的等比数列，

所以
，所以
，

所以数列
的前项和
.

…………………………………………………………………………………13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

.

则
的最小正周期为. ………………………………………………………………7分

（Ⅱ）因为
，则
.

所以
.

所以
.

则
在
上的最大值为
，此时
，即
.

在
上的最小值为
，此时
，即
.

…………………………………………………………………………………13分

17. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）在△
中，

因为
，
，

由正弦定理可得
，

即
，

所以
．

因为
为钝角，所以
.

所以
． ………………………………………………………………7分

（Ⅱ）在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．

在△
中，由余弦定理可知
，

即
，

整理得
．解得
．

因为
为钝角，所以
．所以
．

……………………………………………………………………………………14分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题意得
．

因为
，所以
，当且仅当
时，即
时，等号成立．

所以
．

所以当
时，
的最小值为
．………………………………………6分

（Ⅱ）因为
，所以要使得“
，不等式
成立”只要“
在
恒成立”.

不妨设
，则只要
在
恒成立.

因为
，

所以
即
解得
.

所以的取值范围是
． ………………………………………………………13分

19（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当
时，有
，所以
．

当
时，有
．

因为

，所以
． ………………3分

（Ⅱ）因为
，所以
．

所以
．

所以
． ………………8分

（Ⅲ）由已知得
…①

当
时，
…②

①-②得，
，

即
．

因为
，所以
=
（
）．

当
时，
，又
=，符合上式．

所以
=
(
)． ………………14分

20. （本小题满分13分）

解：(Ⅰ) 当
时，
，
.

令
，解得
.

当
时，
，所以函数
在
是减函数；

当
时，
，所以函数
在
为增函数.

所以函数
在
处取得最小值，
.

因为
，
，所以对任意
，都有
.

即对任意
，
. ………………………………………6分

（Ⅱ）函数
的定义域为
.

又
,设
.

令
，即
，设函数
.

令
，则
.

当
时，
，所以
在
上是减函数；

当
时，
，所以
在
上是增函数；

所以
.则
时，
.

于是，当
时，直线
与函数
的图象有公共点，

即函数
至少有一个零点，也就是方程
至少有一个实数根.

当
时，