第I卷（选择题）

一.选择题（每小题5分，共60分）

1.设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为(　　)

A．[0,3] B．(2,3] C．[3，＋∞) D．[1,3]

2.命题“?x∈R,2x＋x2≤1”的否定是(　　)

A．?x∈R,2x＋x2>1，假命题

B．?x∈R,2x＋x2>1，真命题

C．?x∈R,2x＋x2>1，假命题

D．?x∈R,2x＋x2>1，真命题

3. 已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝(　　)

A. B. C．－ D．－

4. 若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f等于(　　)

A．0　　　 　B．1　　　 　C.　 　 　D．－

5. 已知函数f(x)＝sin(2x－)，若存在α∈(0，π)使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α等于(　　)

A. B. C. D.

6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)

A．2　　　　 B．1　　　　C.　　 　 D.

7.圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝2

8. 设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点,若
＝－4，则点A的坐标为(　　)

A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2)

9.函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为(　　)

A．2＋ B．2 C．1 D．4

10．若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是(　　)

A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(，2)

11．函数f(x)的定义域是R,f(0)＝2,对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0

12．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且
，则
的取值范围是( )

A．[0,3) B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4]

第II卷（非选择题）

二.填空题（每小题5分，共20分）

13. 设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．

14.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

15.两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．

16.函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．

三.解答题（共70分）

17. （10分）已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值

18. （12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c＝asinC－ccosA.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b、c.

19．（12分）各项都为正数的数列{an}，满足a1＝1，a－a＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Sn.

20. （12分）椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且短轴长与长轴长的比是

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当
最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

21. （12分）点F为(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且
，

(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；

(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、D(x3，y3)是曲线C上的三点，且
、
|、
成

等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标．

22.（12分）已知
.

（1）若
，函数
在其定义域内是增函数，求的取值范围；

（2）当
，
时，证明函数
只有一个零点；

（3）
的图象与轴交于
,
(
)两点，
中点为
，

求证：
．

三.解答题（共70分）

17[解析]　(1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m

＝2sinx(cosx－sinx)－cos2x＋m＝sinxcosx－sin2x－cos2x＋m

＝sin2x－－cos2x＋m＝sin2x－cos2x－＋m

＝sin(2x－)－＋m.

∴f(x)的最小值为－1－＋m.

由已知，有－1－＋m＝－3，∴ m＝－.

18. [解析]　(1)由c＝asinC－ccosA及正弦定理得，

sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.

由于sinC≠0，所以sin(A－)＝.

又0

(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.

解得b＝c＝2.

19．[解析]　(1)因为a－a＝2，a＝1，

所以数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列．

所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，因为an>0，所以an＝(n∈N*)．

(2)由(1)知，an＝，所以＝，

于是Sn＝＋＋＋…＋＋，①

Sn＝＋＋＋…＋＋，②

①－②得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋＋…＋)－

＝＋2×－＝－，

所以Sn＝3－.

20.[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意解得a2＝16，b2＝12.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.

因为＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12×.

＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.

因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

也即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，

故有4m≥4，解得m≥1.

又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.

故实数m的取值范围是m∈[1,4]．

21.解(1)∵＝2，故P为MN中点．

又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，

设N(x，y)，则M(－x,0)，P，(x>0)，

∴＝，＝，又∵⊥，∴·＝－x＋＝0，

∴y2＝4x(x>0)是轨迹C的方程．

(2)抛物线C的准线方程是x＝－1，

由抛物线定义知||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1，

∵||、||、||成等差数列，

∴x1＋1＋x3＋1＝2(x2＋1)，∴x1＋x3＝2x2

又y＝4x1，y＝4x2，y＝4x3，故y－y＝(y1＋y3)(y1－y3)＝4(x1－x3)，

∴kAD＝＝，∴AD的中垂线为y＝－(x－3)

AD的中点在其中垂线上，

∴＝－.∴x2＝＝1.

由y＝4x2.∴y2＝±2.∴B点坐标为(1,2)或(1，－2)．

22. 解：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

∴
对x∈(0，＋∞)恒成立，……1分

即
对x∈(0，＋∞)恒成立，只需
． …………2分

∵x＞0，∴
，当且仅当
时取“＝”，

∴
，∴b的取值范围为
． ………………4分

（2）当a＝-1，b＝－1时，f(x)＝lnx+x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

．

∴函数f(x)只有一个零点．……7分

（3）由已知得
，

两式相减，得

． …………9分

由
及2x0＝x1＋x2，得