张掖市2014-2015年度高三第一次诊断考试

数学（理科）答案

1．C

解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则?UM={3，5，6}，

故选C．

2．A

解析：
，所以

3．D

解析：

4．A

解析：略

5. B

解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V＝
×
×1×1×2＝
.

6.B

解析略

7．B

解：



，

=
，当且仅当
时等号成立取最值

考点：向量数量积及均值不等式

点评：均值不等式求最值验证等号成立条件

8．B

解析：因为
，所以函数
在上单调递增，故可排除C选项；又因为
时，
，故可排除A选项；当
时，
，故此时函数
的图像在直线
的上方，故D错误，B正确．

考点：函数的图像．

9． C

解析：

10. B

解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．

11．B

解析：设
为点P的横坐标，则
，

， (-a≤
≤a)

所以

取值范围是[
],

而

最大值取值范围是
，所以

于是得到
，

故椭圆的离心率的取值范围是
，选B。

考点：主要考查椭圆的几何性质及不等式性质。

点评：解答中灵活运用了椭圆的焦半径公式，从已知出发，建立了关于
的不等式，达到解题目的。

12．B

解析：因为
故命题1正确

13．

【解析】略

14．2

解析：试题分析：当
时，
＝
，令
则
显然与
矛盾，表明此时
无零点.

当
时，分两种情况：当
时，

＝
，令


.解得
；当
时，

＝
，令
，解得
.因此函数
的零点个数为２.

考点：函数的零点定理，指数函数和对数函数的计算.

15．28

16．4

三、解答题

17．（Ⅰ）
，
（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据二倍角公式和诱导公式进行化简可得
，然后根据周期公式
，求得
；当
，把点
代入
中，可得
，而
解得
.。当

时，把点
代入
中，可得
，而
解得
.

（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）

3分

由题有：
，则
， 4分

当
，把点
代入
中，可得
，而
解得
.

当
时，把点
代入
中，可得
，而
解得
. 6分

（Ⅱ）由题有：当
，
7分

，

则函数
的值域为
. 9分

当
时，

则函数
的值域为
.

综上， 函数
的值域为
. 12分

考点：正弦型函数的性质和图象.

18．（1）3（2）

【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。

（1）因为）设
，由题设
，可知棱长。

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）

那么借助于三角形求解得到结论。

解：（1）设
，由题设
，

得
，即
，解得
．

故
的长为． ……………………………6分

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）．…………………………8分

在△
中，计算可得
，则
的余弦值为
。……………12分

19．（Ⅰ）
；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用分步原理可得概率为
；（Ⅱ）根据题意得出
的可能取值为1，2，3，4，列出分布列计算期望.

试题解析：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率
3分

（Ⅱ）
的可能取值为1，2，3，4， . 4分

，
，

，
． . 8分

的概率分布列为

 1

2

3

4















10分

E
=1×
＋2×
＋3×
＋4×
=
． 12分

考点：分步计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望.

20．(Ⅰ)
;(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（1）设C：
（A＞b＞0），由条件知A-C=
,
由此能导出C的方程．(Ⅱ)由题意可知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
得
再由根的判别式和韦达定理进行求解．

试题解析：（1）设C：
（＞b＞0），设C＞0，
，由条件知4=4，
，∴a=1，b=C=
,故C的方程为：
; 4分

(Ⅱ)设
：y=kx+m与椭圆C的交点为A(
，
)，B(
，
)。将y=kx+m代入

得
,所以
①,

...............................6分

因为
，
，所以
,

所以
, ........................... 8分

消去
得
,所以
,....9分

即
,当
时,
...10分

所以
,
由①得
,解得
12分

考点：1、直线与圆锥曲线的综合问题；2、向量在几何中的应用．

21．(Ⅰ)
; (Ⅱ)
.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用导数等于零的点为极值点求出，注意复合函数求导方法，防止出错；

(Ⅱ) 当
时，令
，然后求
得最小值，只有
小于
的最小值就满足题意，然后根据
求出最大值.

试题解析：（Ⅰ）
，令
，令

故
的极小值为
，得
． 6分

（Ⅱ）当
时，令
，
，

令
，
，故
在
上是增函数

由于
， 存在
，使得
．

则
，知
为减函数；
，知
为增函数．

，
，又
所以
12分

考点：1.利用导数求函数单调区间；2.利用导数求函数最值.3.复合函数求导.

22．解析：选修4—1：几何证明选讲

解：（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，

∴∠OAC=∠FAC，

∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.…………5分

（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，

CM⊥AB，∴CM2=AM·MB.

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF·DA.

易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，

∴AM·MB=DF·DA…………10分

23选修4-4：参数方程和极坐标。

(Ⅰ)
；（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.

试题解析：（Ⅰ）由
，得
，即曲线
的直角坐标方程为
． 5分

（Ⅱ）将直线l的方程代入
，并整理得，
，
，
．

所以
． 10分

考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

24．解：（Ⅰ）当
时，

由
得

当
时，不等式可化为
，其解集为

当
时，不等式化为
，不可能成立，其解集为
；

当
时，不等式化为
，其解集为

综上所述，
的解集为
（5分）

（Ⅱ）
，∴要
成立，

则
，
，

即的取值范围是
。 （10分）