张掖市2014-2015年度高三第一次诊断考试

数学（文科）答案

1．

【解析】

试题分析：方程
解得
，则
，
，
.

考点：集合的运算.

2．D

【解析】

试题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．

解：
，

故选D．

3．A．

【解析】

试题分析：∵等差数列
，
，
，∴
，∴
，

，∴
．

考点：等差数列的通项公式．

4．A

【解析】

试题分析：
，所以应该向左平移
个单位长度，选A.

考点：函数图象的变换.

5．B

【解析】

试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为
故选：B.

考点：由三视图求面积、体积．

6．B

【解析】

试题分析：对于，直线
可能平行、相交、异面，不对；对于，由面面垂直性质得正确；对于没有
内，不对；对于，没有说明
是两条相交直线，不对，故答案为B.

考点：空间中直线与直线、平面与平面的位置关系.

7．B

解：

，

=
，当且仅当
时等号成立取最值

考点：向量数量积及均值不等式

8．B

解析：因为
，所以函数
在上单调递增，故可排除C选项；又因为
时，
，故可排除A选项；当
时，
，故此时函数
的图像在直线
的上方，故D错误，B正确．

考点：函数的图像．

9． C

解析：

10. C

【解析】

试题分析：程序在执行过程中
的值依次为：
；
；
；
，程序结束，输出
．

考点：程序框图．

11．C

【解析】

试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且
，所以
，因为
，所以
，所以选C．

考点：双曲线性质的应用．

12．B

解析：因为
故命题1正确

二、填空题

13．

14．

解析：设
，又抛物线的准线方程为
，焦点
，则根据抛物线的定义可知
,所以
.

考点：1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系.

15．3

解析:向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②、③也是假命题，填3

16．
.

解析：函数
与
的图象，如图：

由图可以看出，函数

的零点有
个.

考点：分段函数，函数的零点，函数的图象.

三、解答题

17．1．（1）
，
；（2）

【解析】

试题分析：（1）给出
与
的关系，求
，常用思路：一是利用
转化为
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为
的递推关系，先求出
与的关系，再求
；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减．

试题解析：解：（1）由题意知数列
是公差为2的等差数列 又因为
所以

当
时，
；

当
时，

对
不成立

所以，数列
的通项公式:

（2）
时，

时，

所以

仍然适合上式

综上，

考点：1、求数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．

18．（1）3（2）

【解析】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。

（1）因为）设
，由题设
，可知棱长。

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）

那么借助于三角形求解得到结论。

解：（1）设
，由题设
，

得
，即
，解得
．

故
的长为． ……………………………6分

（2）因为在长方体中
//
，

所以
即为异面直线
与
所成的角（或其补角）．…………………………8分

在△
中，计算可得
，则
的余弦值为
。……………12分

19．3．（1）选到的人身高都在
以下的概率为
；

（2）选到的人的身高都在
以上且体重指标都在
中的概率为
.

【解析】试题分析：（1）先确定身高低于
的只有、、
、四人，然后利用列举法将所有可能的基本事件以及问题中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率计算公式来计算出问题中事件的概率；（2）先将身高都在
以上且体重指标都在
的同学为
、、三人，然后利用列举法将所有可能的基本事件以及问题中事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型的概率计算公式来计算出问题中事件的概率；

试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 4分

选到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．

因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为
． 6分

（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，

(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 10分

选到的2人身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的事件有：

(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．

因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率为
． 12分

考点：1.列举法；2.古典概型

20．(Ⅰ)
;(Ⅱ)

【解析】

试题分析：（1）设C：
（A＞b＞0），由条件知A-C=
,
由此能导出C的方程．(Ⅱ)由题意可知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
得
再由根的判别式和韦达定理进行求解．

试题解析：（1）设C：
（＞b＞0），设C＞0，
，由条件知4=4，
，∴a=1，b=C=
,故C的方程为：
; 4分

(Ⅱ)设
：y=kx+m与椭圆C的交点为A(
，
)，B(
，
)。将y=kx+m代入

得
,所以
①,

...............................6分

因为
，
，所以
,

所以
, ........................... 8分

消去
得
,所以
,....9分

即
,当
时,
...10分

所以
,
由①得
,解得
12分

考点：1、直线与圆锥曲线的综合问题；2、向量在几何中的应用．

21．（1）
，
；（2）
.

【解析】

试题分析：（1）利用条件“曲线
经过点
，且在点处的切线为
”得到

以及
，从而列出方程组求解、
的值；（2）利用参数分离法将问题等价转化为

在区间
上恒成立，并构造新函数
，转化为
，

利用导数求出函数
在区间
的最大值，从而可以求出实数
的取值范围.

（1）
，

依题意，
，即
，解得
；

（2）由
，得：
，

时，

即
恒成立，当且仅当
，

设
，
，
，

由
得
（舍去），
，

当
，
；当
，
，

在区间
上的最大值为
，

所以常数
的取值范围为
.

考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立

22．解析：选修4—1：几何证明选讲

解：（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，

∴∠OAC=∠FAC，

∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.…………5分

（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，

CM⊥AB，∴CM2=AM·MB.

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF·DA.

易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，

∴AM·MB=DF·DA…………10分

23选修4-4：参数方程和极坐标。

(Ⅰ)
；（Ⅱ）
.

【解析】本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.

试题解析：（Ⅰ）由
，得
，即曲线
的直角坐标方程为
． 5分

（Ⅱ）将直线l的方程代入
，并整理得，
，
，
．所以
． 10分

考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

24．解：（Ⅰ）当
时，

由
得

当
时，不等式可化为
，其解集为

当
时，不等式化为
，不可能成立，其解集为
；

当
时，不等式化为
，其解集为

综上所述，
的解集为
（5分）

（Ⅱ）
，∴要
成立，

则
，
，

即的取值范围是
。 （10分）