虹口区2015届高三上学期期末教学质量监控测试数学试题

2015.1.8

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、椭圆
的焦距为 .

2、在
的展开式中，各项系数之和为 .

3、若复数
满足
（
为虚数单位），则复数
.

4、若正实数
满足
32，则
的最小值为 .

5、行列式
的最小值为 .

6、在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
.

7、若
则方程
的所有解之和等于 .

8、若数列
为等差数列，且
，则
.

9、设等比数列
的公比为
，前
项和为
，若
成等差数列，则
.

10、已知
是分别经过
两点的两条平行直线，当
之间的距离最大时，直线
的方程是 .

11、若抛物线
上的两点
、
到焦点的距离之和为6，则线段
的中点到
轴的距离为 .

12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）

13、右图是正四面体的平面展开图，
分别为
的中点，则在这个正四面体中，
与
所成角的大小为 .

14、右图为函数
的部分图像，
是它与
轴的两个交点，
分别为它的最高点和最低点，
是线段
的中点，且
，则函数
的解析式为 .

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.

15、设全集
，则
（ ）.

A.

B.

C.

D.



16、设
均为非零向量，下列四个条件中，使
成立的必要条件是 （ ）.

A.

B.

C.

D.
且



17、关于曲线
，给出下列四个命题：

①曲线
关于原点对称； ②曲线
关于直线
对称

③曲线
围成的面积大于
④曲线
围成的面积小于

上述命题中，真命题的序号为 （ ）

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③



18、若直线
与曲线
有四个不同交点，则实数
的取值范围是 （ ）.

A.

B.

C.

D.



三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.

19、（本题满分12分）

已知
，求
的值

20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分

一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的
，设球的半径为
，圆锥底面半径为
.

（1）试确定
与
的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；

（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.

21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分

已知函数
和
的图像关于原点对称，且

（1）求函数
的解析式；

（2）若
在
上是增函数，求实数
的取值范围.

22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.

已知各项均不为零的数列
的前
项和为
，且
，其中
.

（1）求证：
成等差数列；

（2）求证：数列
是等差数列；

（3）设数列
满足
，且
为其前
项和，求证：对任意正整数
，不等式
恒成立.

23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.

已知
为为双曲线
的两个焦点，焦距
，过左焦点
垂直于
轴的直线，与双曲线
相交于
两点，且
为等边三角形.

（1）求双曲线
的方程；

（2）设
为直线
上任意一点，过右焦点
作
的垂线交双曲线
与
两点，求证：直线
平分线段
（其中
为坐标原点）；

（3）是否存在过右焦点
的直线
，它与双曲线
的两条渐近线分别相交于
两点，且使得
的面积为
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）

一．填空题

1.
； 2. 1； 3.
； 4. 16； 5.
； 6.
； 7.
；

8.
； 9.
； 10.
； 11. 3； 12.
；

13.
； 14.
；

二．选择题

15. C； 16. B； 17. D； 18. A；

三．解答题

19. 解：
，在第一象限，∴
；

；

；

20. （1）解：
，
；
；

（2）解：
；

21. （1）解：
；

（2）解：
，

当
，即
时，对称轴
，∴
；

当
，即
时，
，符合题意，∴
；

当
，即
时，对称轴
，∴
；

综上，
；

22. （1）解：
①；
②；①－②得
，得证；

（2）解：由
，得
，结合第（1）问结论，即可得
是等差数列；

（3）解：根据题意，
，
；

要证
，即证
；

当
时，
成立；

假设当
时，
成立；

当
时，

；

要证
，即证
，展开后显然成立，

所以对任意正整数
，不等式
恒成立；

23. （1）
，∵等边三角形，∴
，
，
，∴
；

（2）解：设
，
，中点为
，然后点差法，

即得
，

∴
，即点
与点
重合，所以
为
中点，得证；

（3）解：假设存在这样的直线，设直线
，
，

联立
得
；联立
得
；

，即
；

∴
，该方程无解，所以不存在这样得直线