1．计算：
。

2．函数
的最大值为 。

3．函数
的定义域为 。

4．方程
的解集是 。

5．设
，
，若是
的充分条件，则的取值范围是 。

6. 设全集
，集合
，则
。

7．设
，则
。

8．设
是上的奇函数，
，当
时，
，则
。

9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为40000元。若每批生产件，则平均仓储时间为
天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。

10．设函数
在区间
上是增函数，则的取值范围为 。

11．定义：
表示
两个数中的最大值，
表示
两个数中的最小值。给出下列4个命题：①

且
；②

且
；③设函数
和
的公共定义域为，若
，
恒成立，则
；④若函数
的图像关于直线
对称，则的值为。其中真命题是 。（写出所有真命题的序号）

12. 设函数
，则函数
的零点个数是 。

13．如图，在单位圆中，用三角形的重心公式
研究内接正三角形
（点在轴上），有结论：
。有位同学，把正三角形
按逆时针方向旋转角，这时，可以得到一个怎样的结论呢？答： 。

14．若集合
中的元素个数为4，则实数
的取值范围是__ 。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．下列四类函数中，具有性质“对任意的
，函数
满足
”的是（ ）

．幂函数 ．对数函数
．指数函数 ．余弦函数

16． “
是奇函数”是“
”的（ ）

．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件

17．已知函数
，若存在
，使
成立，则以下对实数
的描述正确的是（ ）

．
．

．
．

18．用
表示正整数的最大奇因数（如
、
），记数列
的前项的和为
，则
值为（ ）

．
．

．
．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

设函数
。

（1）当
时，若
的最小值为，求正数的值；

（2）当
时，作出函数
的图像并写出它的单调增区间（不必证明）。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

在
中，角
所对的边分别为
，若
。

（1）求
的大小；

（2）设
，求
的值。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

对于数列
，如果存在一个正整数，使得对任意的（
）都有
成立，那么数列
称作周期为的周期数列，的最小值称作数列
的最小正周期，以下简称周期。

（1）已知数列
的通项公式是
，判断数列
是否是周期数列？并说明理由；

（2）设数列
满足
（
），
，
，且数列
是周期为
的周期数列，求常数
的值；

（3）设数列
满足
，
（其中是常数），
（
），求数列
的前
项和
。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。

设函数
。

(1) 解不等式
；

(2) 设函数
，若函数
为偶函数，求实数
的值；

(3) 当
时，是否存在实数（其中
），使得不等式
恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分。

设等差数列
的前项和为
，且
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前项和为
，且
（其中是非零的实数），若
，
，
成等差数列，问
，
，
能成等比数列吗？说明理由；

（3）设数列
的通项公式
，是否存在正整数、（
），使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有、的值；若不存在，说明理由。

金山中学2014学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷

参　考　答　案

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

设函数
。

（1）当
时，若
的最小值为，求正数的值；

（2）当
时，作出函数
的图像并写出它的单调增区间（不必证明）。

解（1）
， 3分

由
得，
； 6分

（2）图像正确， 10分

函数
的单调增区间是
和
。 12分（对一个区间得1分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

在
中，角
所对的边分别为
，若
。

（1）求
的大小；

（2）设
，求
的值。

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

对于数列
，如果存在一个正整数，使得对任意的（
）都有
成立，那么数列
称作周期为的周期数列，的最小值称作数列
的最小正周期，以下简称周期。

（1）已知数列
的通项公式是
，判断数列
是否是周期数列？并说明理由；

（2）设数列
满足
（
），
，
，且数列
是周期为
的周期数列，求常数
的值；

（3）设数列
满足
，
（其中是常数），
（
），求数列
的前
项和
。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。

设函数
。

(1) 解不等式
；

(2) 设函数
，函数
为偶函数，求实数
的值；

(3) 当
时，是否存在实数（其中
），使得不等式
恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

22解（1）
，
4分（给出
或
扣1分）

（2）
，即
， 5分

整理，得
，
； 9分

（如
，
，没有证明扣2分）

（3）
， 11分

等价于
恒成立，

解
，得
，

综上，不存在符合题意。 16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分。

设等差数列
的前项和为
，且
，
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前项和为
，且
（其中是非零的实数），若
，
，
成等差数列，问
，
，
能成等比数列吗？说明理由；

（3）设数列
的通项公式
，是否存在正整数、（
），使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有、的值；若不存在，说明理由。

（3）
，
，
， 14分

解不等式
，得
， 16 分

所以，所有、的值分别为
。 18 分

（只给、的值分别为
，没有说明是所有的、，扣4分）