长安一中高三级第三次教学质量检测数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合
，
，若
，则实数
的所有可能取值的集合为 ( )

A．
B．
C．
D．

2.若
为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 设
是平面
内两条不同的直线，
是平面
外的一条直线，则
且
是
的（ ）

A．充要条件　B.充分不必要条件　C．必要不充分条件　D.既不充分也不必要条件

4.等差数列
中，如果
，
，则
前9项的和为( )

A．297 B. 144 C．99 D. 66

5.已知向量
，且
∥
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6.过
的直线
被圆
截得的线段长为2时，直线
的斜率为（ ）

A．
B.
C．
D.

7.(理科) 已知
满足不等式
设
，则
的最大值与最小值的差为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

（文科）设
、
满足约束条件：
，则
的最大值是（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

8. 函数
与
的图像交点的横坐标所在区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.若下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件是( )

A.
B.
C．
D.

10．若
时，函数
取得最小值，则
是（ ）

A．奇函数且图像关于点
对称 B.偶函数且图像关于直线
对称

C．奇函数且图像关于直线
对称 D.偶函数且图像关于点
对称

11.（理科）已知椭圆
的焦点为
、
，在长轴
上任取一点
，过
作垂直于
的直线交椭圆于
，则使得
的
点的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

（文科）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此实验数据可以估计出

椭圆的面积约为( )

A.17.84 B. 5.16 C. 18.84 D.6.16

12．已知函数
，
，则方程
的解的个数不可能是（ ）

A．3个 B.4个 C.5个 D.6个

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题纸相应的位置.）

13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．

14．已知
面积
和三边
满足：
，则
面积
的最大值为________．

15．已知
分别是圆锥曲线
和
的离心率，设

，则
的取值范围是 ．

16. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．

设
是位于这个三角形数表中从上往下数第
行、从左往右数第
个数，如
．则
．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共70分）

17．（本小题满分12分）

已知
是正项数列，
，且点
（
）在函数
的图像上.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若列数
满足
，
，求证：
.

18.（本题满分12分）

如图，设四棱锥
的底面为菱形，且∠
，
，
。

（1）求证：平面
平面
；

（理科）（2）求平面
与平面
所夹角的余弦值．

（文科）（2）设P为SD的中点,求三棱锥
的体积．

19．（本题满分12分）

为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（1）求样本容量
和频率分布直方图中的
、
的值；

（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量
表示所抽取的3名学生中得分在
内的学生人数，求随机变量
的分布列及数学期望．

（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在
内的概率．

20.（本题满分12分）

如图，椭圆
：
的右焦点为
，右顶点、上顶点分别为点
、
，且
.

（1）求椭圆
的离心率；

（2）若斜率为2的直线
过点
，且
交椭圆
于

、
两点，
.求直线
的方程及椭圆
的方程.

21．（本题满分12分）

已知函数
，
的图像在点
处的切线为
．（
）.

（1）求函数
的解析式；

（理科）（2）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值.

（文科）（2）若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈
时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

长安一中高三级第三次教学质量检测数学答题纸

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写下面的横线上．

13． ； 14． ； 15． ； 16. .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）



18.（本题满分12分）



19.（本题满分12分）



20.（本题满分12分）

21.（本题满分12分）



请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号（本题满分10分）。



数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. A 2.D 3．C 4．C 5.B 6．A 7. A 8. B 9．D 10． D 11．C 12．A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

13．
； 14．
； 15．（-∞，0）； 16.　 38 ；

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得
，即
，又
，

所以数列
是以1为首项，公差为1的等差数列，故
.…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，从而
.

.………………………………………8分

因为

∴
.……………………………………………………………………12分

18.（本题满分12分）

（1）证明：连接
，取
的中点
，连接
、
，
，
，
，
，又四棱锥
的底面为菱形,且∠
，
是是等边三角形，

，又
，
，
，
面

（理科）（2）由（Ⅰ）知，分别以
为
轴、
轴、
轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面
的一个法向量

，
，
，
，
，设面
的法向量

，则


，


，令
，则
，由

，设平面
与平面
所夹角的大小为
，则

（文科）（Ⅱ）
=
=
-
=
=

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题意可知，样本容量
，
，

.………………………………4分

（理科）（2）由题意可知，分数在
内的学生有5人，分数在
内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在
的人数
的可能取值为1，2，3，则