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　　银川一中2015届高三第五次月考数学(理科)试卷.doc

银川一中2015届高三年级第五次月考

数 学 试 卷（理）

　　　　　　　　　　　 命题人：吕良俊

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，
，则
=

.

.

.

.

2．已知
是纯虚数,
是实数,那么
等于

．2i
.i
.-i
.-2i

3．已知二次函数
则“
”是“函数
在
单调递增”的

. 充分条件
. 充分不必要条件

. 必要不充分条件
.既不充分也不必要条件

4．某三棱锥的三视图如图所示，

该三梭锥的表面积是

. 28+6

. 30+6

. 56+ 12

. 60+12

5．已知实数，
，9构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为

6．函数
，
的图象可能是下列图象中的

7．设
在约束条件
下，目标函数
的最大值小于2，则
的取值范围为

.

.

.

.

8．在
中，角
所对的边分别为
,
,
,已知
，

.则

.

.

.
或

.

9．若正四面体
的顶点
分别在两两垂直的三条射线
，
，
上，则在下列命题中，错误的为

．
；
．直线
∥平面
；

．直线
与
所成的角是
；
．二面角
为

10．在平面直角坐标系
中，已知向量
与
关于
轴对称，向量
，点
满足不等式
，则
的取值范围

.[
]
.[
]
.[
]
.[
]

11．设抛物线
的焦点为
，过点
（
，0）的直线与抛物线相交于
两点，与抛物线的准线相交于点
，
，则
与
的面积之比

.

.

.

.

12．已知两条直线
:
和
:
，
与函数
的图像从左至右相交于点
，
与函数
的图像从左至右相交于
.记线段
和
在
轴上的投影长度分别为
,当
变化时，
的最小值为

．

.

.

.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知直线
过原点，且点
到直线
的距离为1，则直线
的斜率
= ．

14．设
为锐角，若
，则
的值为 ．

15．以抛物线
的焦点为圆心，且与双曲线
的两条渐近线都相切的圆的方程为 .

16．对于实数
和
，定义运算“*”：
，设
，且关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是_________________.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17. (本小题满分12分)

设函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）设函数
对任意
，有
，且当
时，
，求函数
在
上的解析式.

18. (本小题满分12分)

已知
是等差数列，其前n项和为
，
是等比数列，且

，
.

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）记
，
，证明:
（
）.

19．（本小题满分12分）

如图，正方形
与梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
,

,点
在线段
上.

（I）当点
为
中点时，求证：
∥平面
；

（II）当平面
与平面
所成锐二面角

的余弦值为
时，求三棱锥
的体积.

20.（本小题满分12分）

椭圆
的焦点在x轴上，其右顶点
关于直线
的对称点在直线
上(
为半焦距长).

（I）求椭圆的方程；

（II）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线
于点C. 设O为坐标原点，且
求△OAB的面积.

21.（本小题满分12分）

已知函数
的图像在点
处的切线方程为
.

（I）求实数
的值及函数
在区间
上的最大值；

（II）曲线
上存在两点
、
，使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是△
的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，O到AC的距离为1，求⊙O的半径
．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线
的参数方程是
（
为参数），

以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线

的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，求
．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）解不等式
.

银川一中2015届高三年级第五次月考

数学试卷（理）答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

B

C

C

A

D

B

B

A

D



填空题：

13.0或
； 14.
； 15.
；16.
.

三、解答题：

17.(本小题满分12分)

【解】（I）

，

函数
的最小正周期

（2）当
时，

当
时，

当
时，

在
上的解析式为
。

18.（本小题满分12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）以直线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间

直角坐标系，则
，

，
，所以
.

∴
————————2分

又，
是平面
的一个法向量.

∵
即

∴
∥平面
——————4分

（2）设
，则
，

又

设
，则，
即
.——6分

设
是平面
的一个法向量，则

取
得
即

又由题设，
是平面
的一个法向量，——————8分

∴
————10分

即点
为
中点，此时，
，
为三棱锥
的高，

∴

————————————12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），

设（2，0）关于直线
的对称点为（
，

则
………………4分

解得

则
，所求椭圆方程为
--------------------------6分

（2）设A

由

所以
…………①，
…………②

因为
即
，

所以
……③……………………6分

由①③得

代入②得，
，整理得
…………8分

所以
所以
……………………10分

由于对称性，只需求
时，△OAB的面积.

此时，
所以
……12分

21.（本小题满分12分）

当
时，

此时
在
上的最大值为
；

当
时，
在
上单调递增，且
.

令
，则
，所以当
时，

在
上的最大值为
；

当
时，
在
上的最大值为
.

综上可知，当
时，
在
上的最大值为
；

当
时，
在
上的最大值为
. (8分)

（2）
，根据条件
，
的横坐标互为相反数，不妨设
，
，
.

若
，则
，

由
是直角得，
，即
，

即
.此时无解； (10分)

若
，则
. 由于
的中点在
轴上，且
，所以
点 不可能在
轴上，即
.

同理有
，即
，
.

由于函数

的值域是
，实数
的取值 范围是
即为所求. 12分

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：（I）证明：∵
，

∴
，又
，

∴△
～△
，∴
，

∴CD
=DE·DB； ………………（5分）

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）消去参数得直线
的直角坐标方程：
---------2分

由
代入得

.

（ 也可以是：
或
）