绝密★启用前

2014年重庆一中高2015级高三上期半期考试

数 学 试 题 卷(文科) 2014.11

一、选择题（每题5分，共10题）

1.已知全集
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.函数
的定义域为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.执行右图的程序，若输入的实数
=4，则输出结果为( )

A.
B.

C.
D.

4.函数
的最小正周期是（ ）

A.
B.
C. 2π D. 4π

5.直线
和
垂直，则实数
的值为( )

A.
B.
C.
D.

甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：

甲

乙

丙

丁



平均成绩

89

89

86

85



方差

2.1

3.5

2.1

5.6





从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）

A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁

直线
与圆
相交于
两点，则弦
（ ）

A.
B.
C.
D.

8.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是( )cm



A.
B.
C.
D.

9.（原创）设实数
和
满足约束条件
，且
取得最小值的最优解仅为点
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知正数
满足
则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，共5题）

11.命题“
”的否定是

12.已知复数
为纯虚数，其中
为虚数单位，则实数
的值为

13.若向量
的夹角为
，
，则

14.已知数列
满足：

，则数列
的通项公式为____ 15.设
为正整数，
，计算得

，观察上述结果，可推测一般的结论为　 　

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）

16.（原创）（本题满分13分）已知等差数列
满足：
.

⑴求
的通项公式；

⑵若
，求数列
的前
项和
.

17. （本题满分13分）从某校高三学生中抽取
名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间

[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学生人数是27人.

⑴求
的值;

⑵若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取

2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.

18.（原创）（本题满分13分）已知
中，角
的对边分别为
，且有
.

⑴求角
的大小；

⑵设向量
,且
，求
的值.

（原创）（本题满分12分）如图，已知
是

正三角形,
,且
的中点．

⑴求证：
；

⑵求四棱锥
的全面积.

20. （本题满分12分）已知函数
，
，
．

⑴求函数
的极值；

⑵若
在
上为单调函数，求
的取值范围.

21. （本题满分12分）已知椭圆
的离心率
，过点

和

的直线与原点的距离为
.

⑴求椭圆的方程；

⑵设
为椭圆的左、右焦点，过
作直线交椭圆于
两点，求
的内切圆半径
的最大值.

命题人：朱斌

审题人：张志华 周波涛

2014年重庆一中高2015级高三上期半期考试

数 学 答 案(文科) 2014.11

选择题

1--5：AACBD 6--10:ADBCD

填空题

12.
13.

14.
15.

三、解答题

16.⑴由条件知：

故
的通项为

⑵

故

17.⑴成绩在区间
的频率是：

1
(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，

∴
人．

⑵成绩在区间
的学生人数是：50×0.04=2人，

成绩在区间
的学生人数是：50×0.06=3人，

设成绩在区间
的学生分别是A1，A2，成绩在区间
的学生分别是B1，B2，B3，

从成绩在
的学生中随机选取2人的所有结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，

(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10种情况．

至少有1人成绩在
内的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7种情况．

∴ 至少有1人成绩在
内的概率P=
．

⑴由条件
可得：

整理得：

所以
，又
，故

⑵由
可得：

整理得：

从而
（舍去）

又
，
为锐角

故
，

于是

19.⑴取
中点
，连结

∵
为
的中点，∴

又
∴

∴
为平行四边形，∴

又∵

平面

平面
， ∴
//平面
.

⑵
，
，
，
，

（1）

令
得：
；令
得：

又因为
的定义域为

故
在
上单调递减，在
上单调递增

故
，无极大值。

（2）由（1），得

在
上为单调函数，

或者
在
恒成立

等价于
即

而
．

等价于
即
在
恒成立，

而
．

综上，
的取值范围是
．

⑴直线
的方程为
即

原点到直线
的距离为
即
..........①

...................................②

又
...................................③

由①②③可得：

故椭圆方程为

⑵
，设

由于直线
的斜率不为
，故设其方程为：

联立直线与椭圆方程：

故
...................................④

而

.........................⑤

将④代入⑤得：

又

所以

故

当且仅当
即
时，取得“
”

故
的内切圆半径
的最大值为
。