2014学年第一学期余杭区普高第二共同体期中联考高三年级数学试卷 2014年11月

考生须知：全卷分试卷和答卷。试卷共4页，有3大题，22小题。满分150分，考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 向量
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 若
是方程式
的解，则
属于区间 （ ）

A．（0，1） B．（1，2）. C．（2，3） D．（3，4）

4. “
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 已知
是等比数列，
，则
=

A．16（
） B．16（
） C．
（
） D．
（
）

6. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （　　）

A．[-x] = -[x] B．[2x] = 2[x]

C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y]

7. 函数

的最小正周期为，若其图象向右平移
个单位后关于y轴对称，则
对应的解析式可为（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 已知函数
是定义在R上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知不等式-2xy≤ax2+2y2,若对任意x∈[1,2]及y∈[-1,3]不等式恒成立,则实数a的范围是　(　　)

A．
B．
C．
D．

10. 已知函数
，若关于的方程
恰有6个不同的实数解，则
的取值情况不可能的是（ ）

A．
B．

C．
D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）

11.设等比数列
的公比
，前项和为
，则
．

12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若
，则

13.已知
，其中
满足不等式组
，则的最小值为________。

14.定义在R上的函数
满足
，则
=_________。

15. 设
，不等式
对
恒成立，则的取值范围为 。

16. 在平面直角坐标系
中，已知点的坐标为
，
，点满足
，
，
，则线段
在轴上的投影长度的最大值为 ．

17.对于正整数，若

,当
最小时，则称
为的“最佳分解”，规定
。关于
有下列四个判断：①
；②
；③
；④
；⑤若
，则
；⑥若
，则为质数。其中正确的序号是_______．

三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18. （本小题14分）已知向量
，
，
，

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求
的最小值以及取得最小值时的值。

19.（本小题14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
.

(1)求＋的值；

(2)若tan B＝，求tan A及tan C的值．

20．（本小题14分）已知函数
，对任意的
，总存在
，使
，则实数的取值范围.

21．（本小题15分）设数列
的前项和为
，已知
，
，
，
是数列
的前项和.

（1）求数列
的通项公式；

（2）求
；

（3）求满足
的最大正整数的值.

22. （本小题15分）定义函数
(为定义域)图象上的点到坐标原点的距离为函数的
的模.若模存在最大值，则此最大值称之为函数
的长距；若模存在最小值，则此最小值称之为函数
的短距.

(1)分别判断函数
与
是否存在长距与短距，若存在，请求出;

(2)对于任意
是否存在实数，使得函数
的短距不小于2，若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？

2014年高三期中考试试卷答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

B

C

D

C

C

C

C



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11.15； 12.
； 13. -4 ； 14. 4 ；

15.
； 16. 24； 17. ①③⑤⑥

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.
…………………………2分

……6分

（1）
………………………………………………………………………8分

（2）
时，
…………………………………………10分

当
即
时，……………………………………………………………12分

取到
的最小值
…………………………………………………………………14分

19.（本小题满分14分）

20. 解　(1)∵cos 2C＝1－，∴sin2C＝.

∵C为三角形内角，∴sin C＞0，∴sin C＝.

∵＝，∴＝

∴2sin B＝sin Asin C.

∵A＋B＋C＝π，

∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C.

∴2sin Acos C＋2cos Asin C＝sin Asin C.

∵sin A·sin C≠0，∴＋＝.

(2)∵＋＝，

∴tan A＝.

∵A＋B＋C＝π，

∴tan B＝－tan(A＋C)

＝－

＝.

∴＝整理得tan2C－8tan C＋16＝0

解得，tan C＝4，tan A＝4.

21. 解：（1）∵当
时，
，

∴
. ……………1分

∴
. ……………2分

∵
，
，

∴
. ……………3分

∴数列
是以
为首项，公比为的等比数列.

∴
. ……………4分

（2）由（1）得：
， ……………5分

∴

……………6分

……………7分

. ……………8分

（3）

……………9分

……………10分

. ……………11分

令

，解得：
. ……………13分

故满足条件的最大正整数的值为
. ……………14分

22.