天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）

2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(二)

数学(理科)·答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

（1）B （2）D （3）C （4）A （5）D （6）A

（7）D （8）D （9）B （10）C （11）B （12）A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

（13）3 （14）

（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

（17）解：（Ⅰ）设公差为
，由已知得：
整理得
.………………………………………………………………………………………（2分）

又因为
，即
，所以
，故
……………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
当
时，有
所以
是以为首项，
为公比的等比数列，所以
…………………………（10分）

（18）解：（Ⅰ）因为
任意两个零点之间的最小距离为
，

所以
的最小正周期为，故
，又
，故
．………………………（3分）

由
，得
， 所以
，
，即

又
.

所以
.………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）函数

， ………………………………………………（9分）

由
，
,解得
，
．

所以函数
的单调递增区间为
……（12分）

解：（Ⅰ）
……………（2分）

所以
，即
，

故
或
（舍去），………………………………………………………（4分）

又
，所以
.…………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
所以
. ①………………………………………（8分）

由余弦定理

及
得，
. ②…………………………………………………………（11分）

由①②解得,
.……………………………………………………………（12分）

（20）解：（Ⅰ）
，

由已知
，解得
……………………………………………………………（2分）

所以
，因为
所以函数
的图象在点
处的切线方程为
即
.…………………………（6分）

（Ⅱ）由
得
，…………………………（7分）

因为函数
为
上的单调减函数，

则
在
上恒成立，即
在
上恒成立.

即
在
上恒成立.………………………………………………………………（9分）

令
，在
上

所以
在
上为减函数，
所以
…………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）因为对任意正整数，
，且
，

故
，

所以数列
是以1为公差的等差数列，且
.…………………………（4分）

所以
.

数列
的前项和为
.…………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
，所以
，
.

所以
，
，

……………………………………（9分）

，

由
，得
.……………………………………………………………（12分）

（22）解：（Ⅰ）因为

.……………（2分）

由
知
，

所以
，所以
在
上单调递减.……………（4分）

（Ⅱ）当
时，有
……………………………………………（5分）

证明如下：

当
时，
，故由（Ⅰ）可得
，即

…………………………………………………………………………………………………（8分）

下面证明
即证

设函数

当
时，有

所以
在
上单调递减.……………………………………………………………（10分）

故
所以
于是

即
………………………………………………………………………（12分）