2015届江淮十校11月联考文科数学试题

考试时间120分钟，满分150分

第Ⅰ卷 选择题 （共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ）

A.4 B.2 C.8 D.1

2．设集合
，
，则
等于（ ）

A．
B.
C.
D.

3．命题“存在
”的否定是（ ）

A.任意

B.任意

C.存在

D.任意

4.在
中，已知
，则角A为（ ）

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角

5. 在
中，有如下三个命题：①

；②若D为
边中点，则
；③若
，则
为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

6.将函数
的图像（ ），可得函数
的图像.

A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向右平移
个单位

7. 已知
，则“向量
的夹角为锐角”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8．若函数
满足：存在非零常数
，则称
为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知函数
，其中
，
为参数，且
．若函数
的极小值小于
，则参数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.设实数
满足
，则
（ ）

A.0 B.3 C.6 D.9

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 设向量
满足：
且
的夹角是
，则
_________

12.
__________

13. 设
，若
，则
___________

14. 在
中，
的对边分别为
，若
，则此三角形周长的最大值为________

15. 已知定义在上的函数
对任意
均有：
且
不恒为零。则下列结论正确的是___________

①

②

③

④ 函数
为偶函数

⑤ 若存在实数
使
，则
为周期函数且
为其一个周期.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

16.（本题满分12分） 已知条件：实数满足
，其中
；

条件：实数满足
.

(1) 若
,且“
”为真,求实数的取值范围；

(2) 若是的充分不必要条件, 求实数的取值范围.

17. （本题满分12分）设函数
，

（1）求曲线

在点
处的切线方程；

（2）求函数
在
的最值.

18. （本题满分12分）如图，在平面四边形
中，
.

（1）求
;

（2）若
,求
的面积.

19. （本题满分12分）已知函数
,其中是自然对数的底数．

(1) 证明：
是上的奇函数；

(2) 若函数
,求
在区间
上的最大值.

20. （本题满分13分） 已知
。函数
且
。

（1）求
的解析式及单调递增区间：

（2）将
的图像向右平移
单位得
的图像，若
在
上恒成立，求实数的取值范围.

21. （本题满分14分）

已知

（1）请写出

的表达式（不需要证明）；

（2）记

的最小值为
，求函数

的最小值;

(3)对于（1）中的
，设
，
，其中是自然对数的底数），若方程
有两个不同实根，求实数的取值范围.

2015届江淮十校11月联考

文科数学参考答案

1-5 ACBCD 6-10 BABDC

11.
12.
13.
14.
15. ②④

16.解:(1)由
且
,可得
,

当
时, 有
； 2分

由
，可得
， 4分

又由
为真知，真且真，所以实数的取值范围是
. 6分

(2)由是的充分不必要条件可知:
且
,

即集合
, 9分

从而有
,即
,所以实数的取值范围是
. 12分

17.（1）易知函数的定义域为
1分

又
3分

所以切线方程为：
； 5分

（2）由

列表







1





2









0

—











极小值1







函数的最小值是
； 9分

又
， 11分

函数的最大值是
。 12分

18(1)

中，由余弦定理：

2分

6分

(2) 由

8分
11分

12分

19. (1)证明:函数
的定义域为,

且
,所以
是上的奇函数. 5分

(2)解:

, 8分

不妨令
,则
,

由
可知
在上为单调递增函数,

所以
在
上亦为单调递增函数,

从而
, 10分

所以
的最大值在
处取得,

即
. 12分

另解：

令
,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]

∴原函数可化为好

∴

而
=
=

又t∈[1,e]时，
，

∴

∴
,故
在t∈[1,e]上递减

∴
，即
.

20.解 （1）

1分

由
，知函数
的图像关于直线
对称， 2分

所以
，又
，所以
4分

即

所以函数的递增区间为
； 5分

（2）易知
6分

即
在
上恒成立。

令

因为
，所以

8分

当
，
在
上单调递减，

，满足条件；

当
，
在
上单调递增，

，不成立；

③ 当
时，必存在唯一

，使
在
上递减，在
递增，故只需
， 解得
； 12分

综上，由①②③得实数的取值范围是：
。 13分

另解：由题知：

∴

即
在x∈[0,
]上恒成立

也即
在x∈[0,
]上恒成立

令
，x∈[0,
] ;

如图：

的图象在
图象的下方，

则：

故

21.解 （1）


3分

(2)
，